Trasforma l'espressione in funzione soltanto di $\tan \alpha$, sapendo che $\frac{\pi}{2}<\alpha<\pi$.
$$
\frac{\sin ^2 \alpha+\cot \alpha-1}{2 \cot ^2 \alpha+\cos ^2 \alpha}
$$
N 296
Trasforma l'espressione in funzione soltanto di $\tan \alpha$, sapendo che $\frac{\pi}{2}<\alpha<\pi$.
$$
\frac{\sin ^2 \alpha+\cot \alpha-1}{2 \cot ^2 \alpha+\cos ^2 \alpha}
$$
N 296
266
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Livello 1
(SIN(α)^2 + COT(α) - 1)/(2·COT(α)^2 + COS(α)^2)
In questa espressione:
SIN(α)^2 = TAN(α)^2/(TAN(α)^2 + 1)
COT(α) = 1/TAN(α)-----> COT(α)^2 = 1/TAN(α)^2
COS(α)^2 = 1/(TAN(α)^2 + 1)
Poniamo per semplicità: η = TAN(α)
ed inseriamo tale variabile nella prima frazione (quella in alto):
(η^2/(η^2 + 1) + 1/η - 1)/(2/η^2 + 1/(η^2 + 1))
la semplifichiamo ed otteniamo:
η·(η^2 - η + 1)/(3·η^2 + 2)
da cui:
TAN(α)·(TAN(α)^2 - TAN(α) + 1)/(3·TAN(α)^2 + 2)
cioè otteniamo un'espressione in TAN(α) identica al secondo membro dl testo.
115470
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Genius III
Con
* π/2 < α < π; nel secondo quadrante: sin(α) > 0, cos(α) < 0.
* u = tg(α) < 0
per α != 3*π/4 si ha
* sin(α) = u/√(u^2 + 1)
* cos(α) = - 1/√(u^2 + 1)
* ctg(α) = 1/u
da cui
* f(α) = (sin^2(α) + ctg(α) - 1)/(2*ctg^2(α) + cos^2(α)) =
= ((u/√(u^2 + 1))^2 + 1/u - 1)/(2*(1/u)^2 + (- 1/√(u^2 + 1))^2) =
= ((u^2 - u + 1)/(u*(u^2 + 1)))/((3*u^2 + 2)/((u^2 + 1)*u^2)) =
= ((u^2 - u + 1)/(u*(u^2 + 1)))*((u^2 + 1)*u^2)/(3*u^2 + 2) =
= (u^2 - u + 1)*u/(3*u^2 + 2) =
= (tg^2(α) - tg(α) + 1)*tg(α)/(3*tg^2(α) + 2)
57798
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Genius I