Ti rispondo per punti:
- Si, gli elementi di $\Omega$ sono vettori infiniti di 0 e 1
- C e $\Omega$ sono la stessa cosa. Probabilmente ha preferito chiamarlo C per esplicitare la definizione dei vettori mediante l'n-esima componente, ma coincidono. Nella soluzione infatti considera la funzione misurabile che prende valori direttamente in $\Omega$, quando la $\sigma$-algebra in realtà è costruita su C... in effetti però è abbastanza sviante.
- Non si tratta di dimostrare qualcosa nel senso "matematico" del termine. Semplicemente la prof ha voluto mostrare che la scelta di quella $\sigma$-algebra ben descrive la situazione del lancio di una moneta.
Un quesito classico è infatti "qual è la probabilità di ottenere testa"?
La definizione classica ci dice che è ½ perché su 2 casi possibili c'è un caso favorevole.
La definizione frequentista ci dice che lanciando infinite volte la moneta, la frequenza con cui esce testa è circa la metà dei lanci totali.
Ci dev'essere quindi un analogo anche nel caso assiomatico. Quello che ci chiediamo è dunque se c'è un certo sottoinsieme della tua $\sigma$-algebra che descrive questo evento e a cui andrai ad associare la misura "½" .
La prof ti ha quindi semplicemente mostrato che la $\sigma$-algebra in effetti include questo evento (come anche molti altri) e che quindi ben si presta come struttura a descrivere gli eventi associati al lancio della moneta.
Spero sia chiaro!
Noemi
