geometria tre dimensioni

Question

Considera un triangolo equilatero A B C, di lato a. Sulla perpendicolare al piano del triangolo passante per il centro O del triangolo considera un punto P, tale che i triangoli P O A, POB e POC siano equilateri. Determina lampicza degli angoli che ciascuno dei segmenti P A, P B  in P C forma con il piano del triangolo.  left [ arccos  frac { sqrt {3}}{3}  approx 54^* 44^{ prime } right ]  [attach]33195[/attach] non riesco a capire come risolvere questo problema qualcuno sa come si fa? inoltre non riesco a capire perché il testo dice che POA è un triangolo equilatero, cosa secondo me impossibile perché ha un angolo retto, cosa ho sbagliato?

exProf · Accepted Answer

L è il lato di ABC (ma anche di ABP, ACP, BCP).
M è il punto medio di un lato (qualsiasi, basta ruotare di 120°) di ABC.
P è il quarto vertice del tetraedro platonico di base ABC.
h = |OP| è l'altezza del tetraedro.
R = |AO| = 2*H/3 = L/√3 è il circumraggio di ABC.
I tre triangoli rettangoli spaziali da cui calcolare l'angolo θ richiesto (θ = arctg(h/R)) sono gli AOP, e analoghi, per cui vale
* |AP|^2 = |AO|^2 + |OP|^2 ≡
≡ L^2 = (L/√3)^2 + h^2 ≡
≡ h = (√(2/3))*L
quindi
* θ = arctg(h/R) = arctg(((√(2/3))*L)/(L/√3)) =
= arctg(√2) ~= 0.9553 ~= 54° 44' 8.2''
NB
* arctg(√2) = arccos(√3/3)
che è proprio il risultato atteso.