Dato il trapezio rettangolo $A B C D$ (con $A B$ base maggiore e $B C$ lato obliquo) circoscritto a un cerchio di raggio $r$ e centro $O$, determina l'angolo $B \widehat{O} H$ (dove $H$ è il punto di tangenza del lato obliquo $B C$ con la circonferenza) in modo che sia minima la superficie laterale del solido che si ottiene con una rotazione completa del trapezio rettangolo intorno alla sua base maggiore.
$$
\left[x=\frac{\pi}{3}\right]
$$
66
punti
Livello 1
Facciamo riferimento alla figura allegata sopra.
Gli angoli x ed y sono tali per cui:
2·x + 2·y = pi----> y = pi/2 - x
Poi, sfruttando le proprietà delle tangenti ad una circonferenza abbiamo:
ΜΚ = ΒΗ = r·TAN(x)
ΑΒ = r + r·TAN(x) = base maggiore trapezio ABCD
ΝC = ΗC = r·TAN(y)
CD = r + r·TAN(y) = base minore trapezio ABCD
Cilindro:
Α(cilindro, laterale) = 2·pi·(2·r)·(r + r·TAN(y)) = Α = 4·pi·r^2·TAN(y) + 4·pi·r^2=
= 4·pi·r^2·TAN(pi/2 - x) + 4·pi·r^2=
=4·pi·r^2·COT(x) + 4·pi·r^2
Cono:
a = apotema laterale= CH + BH= r·TAN(y) + r·TAN(x)=
= r·TAN(pi/2 - x) + r·TAN(x) = r·COT(x) + r·TAN(x)
A(cono, laterale)=1/2·(2·pi·(2·r))·(r·COT(x) + r·TAN(x))
= 2·pi·r^2·COT(x) + 2·pi·r^2·TAN(x)
Solido di rotazione:
A(laterale)=4·pi·r^2·COT(x) + 4·pi·r^2 + 2·pi·r^2·COT(x) + 2·pi·r^2·TAN(x)
=6·pi·r^2·COT(x) + 2·pi·r^2·TAN(x) + 4·pi·r^2
Quindi si tratta di rendere minima la funzione:
(6·pi·r^2·COT(x) + 2·pi·r^2·TAN(x) + 4·pi·r^2)/(2·i·r^2)
quindi :
y=3·COT(x) + TAN(x) + 2
y' =dy/dx = 1/COS(x)^2 - 3/SIN(x)^2 = 0
In definitiva deve risultare:
SIN(x)^2 - 3·COS(x)^2 = 1 - 4·COS(x)^2 =0
(2·COS(x) + 1)·(2·COS(x) - 1) = 0
x = pi/3
77886
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Genius II
