Geometria piana

Il raggio della circonferenza inscritta è dato da

R=((A_triangolo*2)/perimetro)

Area*2=4*x

Perimetro = 4+x+radice (4+x²) = 4 + x + radice ((x²*(1+4/x²)) =

= 4+x+x*radice (1+4/x²) essendo x>0

Per x che tende ad infinito la radice tende ad 1

Essendo i polinomi N(x) e D(x) di pari grado, trovo il limite richiesto facendo il rapporto tra i coefficienti dei monomi di grado massimo, ossia 4x e 2x 

Quindi 

4/2=2

il limite vale 2. Suggerimento:

Analiticamente scrivo l'area del triangolo rettangolo in due modi equivalenti, che nella sostanza si traducono in una equazione:

1/2·(4·x) = 1/2·(2·p·r) essendo 2p il perimetro del triangolo

risolvo: r = 2·x/p

r = 2·x/(1/2·(4 + x + √(4^2 + x^2))) al denominatore della frazione il semiperimetro p

Quindi:

r=(x + 4 - √(x^2 + 16))/2

Quindi per x--->+inf:

LIM((x + 4 - √(x^2 + 16))/2) =2

x----> +inf

Infatti:

(x + 4 - √(x^2 + 16))*(x + 4+√(x^2 + 16))/(2*(x + 4 + √(x^2 + 16))=

=((x+4)^2-(x^2+16))/(2*(x + 4 +|x|* √(1 + 16/x^2))=

=8x/(4x)=2

Cateti : sono 4 e x

r(x) = (4 + x - rad(16 + x^2))/2

perché

r = 2S/P = ab/(a+b+rad(a^2+b^2)) = ab(a+b-rad(a^2+b^2))/(a^2+2ab+b^2 - a^2 - b^2) =

= ab/(2ab) * (a+b-rad(a^2+b^2)) = (a+b-rad(a^2+b^2))/2

il lim_x->+oo r(x) é indeterminato del tipo oo - oo

razionalizzando

lim_x->+oo 1/2*(16 + x^2 + 8x - 16 - x^2)/(4 + x + rad(16 + x^2)) =

= lim_x->oo 4x/(x + x) = 2

Determina il limite a cui tende la misura del raggio della circonferenza inscritta in un triangolo rettangolo con i cateti di misura AB = 4 e BC =  x, quando x tende a +infinito

semplice :

BC tende ad infinito e ad essere parallela ad AC ; ne consegue che il diametro del cerchio inscritto tende ad AB = 4 ed il raggio ad AB/2 = 4/2 = 2 

RISOLUZIONE PER ISPEZIONE
Per x che tende a infinito l'ipotenusa tende a diventare parallela al cateto che cresce e quindi l'inraggio tende a metà del cateto fisso.
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RISOLUZIONE ANALITICA
L'inraggio r(x) è la comune distanza dell'incentro I dai tre lati, altezza dei tre triangolini che, con basi i lati del triangolone e vertice opposto I, ne partizionano l'area A = p*r/2 (semiprodotto fra perimetro e inraggio) da cui r = 2*A/p.
Se il triangolo è rettangolo l'area A è il semiprodotto dei cateti (A = 4*x/2 = 2*x) e il perimetro è p = x + 4 + √(x^2 + 4^2). In conclusione
* r(x) = 2*A/p = 2*2*x/(x + 4 + √(x^2 + 4^2)) ≡
≡ r(x) = 4*x/(x + 4 + √(x^2 + 4^2))
* lim_(x → ∞) r(x) = 2