Geometria (foglioA4)

....eccomi di ritorno fatta la dovuta verifica e con le mie scuse per aver preso il problema sotto gamba

risolto sembra banale , ma non lo è 

 

@adamin

Ciao. La piega risulta essere perpendicolare alla diagonale e passante per il suo punto di mezzo.

Le dimensioni del foglio sono proporzionali ai numeri 1 e √2.

Quindi possiamo fare riferimento a queste due dimensioni.

Inquadriamo il foglio in un sistema di assi cartesiani ortogonali come è illustrato in figura (vedi sotto).

La pendenza della diagonale è: m = √2

La pendenza della piega è: m'=-1/√2

Il punto E ha coordinate: E(1/2,√2/2)

La retta per E sopra la piega è:

y - √2/2 = - 1/√2·(x - 1/2)--------->y = 3·√2/4 - √2·x/2

Punto G: per x=0---------->y = 3·√2/4 - √2·0/2-------> y = 3·√2/4    ---->G(0,3·√2/4)

Punto H: per x=1----------->y = 3·√2/4 - √2·1/2------->y = √2/4---------->H(1,√2/4)

Il rapporto piega /base minore coincide quindi con la distanza GH :

GH=√((1 - 0)^2 + (√2/4 - 3·√2/4)^2) = √6/2 = circa 1.22

 

 

 

 

 

 

Ho provato a disegnare le coordinate del problema.

La parte in nero rappresenta il foglio originale

La parte in rosso il foglio dopo la piegatura

Il segmento in bleu la lunghezza da determinare.

dai dati

CD = 21 cm

BC = 21*√2 cm

osserviamo che i segmenti :

CF ≡ DF ≡ HG sono congrui tra loro, inoltre

DH ≡ FG ≡ CD = 21 cm

 

1. Determiniamo la lunghezza dei segmenti CE ed ED.

Per il teorema di Pitagora vale

CD² + CE² = ED²

21² + CE² = (21√2-CE)²

per cui:

• CE = 21/(2√2) cm
• EF = 21√2 - 21/(2√2) = 63√2/4 cm

 

2. Ricaviamo FE e con Pitagora la lunghezza cercata EG

• FE = BC - 2*CE =  21*√2 - 21/√2 = 21*√2/2 cm
• EG = √(FG²+FE²) = √(21²+(21*√2/2)²) = 21√6 /2 cm

 

3. Il rapporto sarà EG/CD = √6 /2 = √(3/2)

Nei fogli della serie A (ISO 216) "il rapporto tra il lato lungo e quello corto è √2", quindi la misura d della diagonale, con unità il lato corto, è
* d = √(1^2 + (√2)^2) = √3
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In un riferimento Oxy traccio due circonferenze concentriche, di raggi (1, √2), per ciascuno dei due centri
* A(0, - √3/2), C(0, + √3/2)
cioè
* Γ0 ≡ x^2 + (y + √3/2)^2 = 1
* Γ1 ≡ x^2 + (y + √3/2)^2 = 2
* Γ2 ≡ x^2 + (y - √3/2)^2 = 1
* Γ3 ≡ x^2 + (y - √3/2)^2 = 2
da cui calcolare le intersezioni
* Γ0 & Γ3 ≡ (x^2 + (y + √3/2)^2 = 1) & (x^2 + (y - √3/2)^2 = 2) ≡ (± √(2/3), - 1/(2*√3))
* Γ1 & Γ2 ≡ (x^2 + (y + √3/2)^2 = 2) & (x^2 + (y - √3/2)^2 = 1) ≡ (± √(2/3), + 1/(2*√3))
x = -sqrt(2/3), y = -1/(2 sqrt(3))
punti che consentono di tracciare i due rettangoli simmetrici di vertici
* R1 ≡ A(0, - √3/2), B1(+ √(2/3), - 1/(2*√3)), C(0, + √3/2), D1(- √(2/3), + 1/(2*√3))
* R2 ≡ A(0, - √3/2), B2(+ √(2/3), + 1/(2*√3)), C(0, + √3/2), D2(- √(2/3), - 1/(2*√3))
Nel seguito mi riferisco ad R1, ma data la simmetria ciò è irrilevante.
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Nel rettangolo, simile a un ISO 216 serie A,
* R ≡ A(0, - √3/2), B(√(2/3), - 1/(2*√3)), C(0, √3/2), D(- √(2/3), 1/(2*√3))
"il rapporto tra la lunghezza della piega e il lato corto del foglio" è la lunghezza del segmento di asse x interno ad R (il lato corto è stato assunto come unità), cioè la distanza fra gli zeri delle rette BC e DA (i due lati lunghi di R)
* DA ≡ y = - (√2)*x - √3/2 → H(0, - √3/2)
* BC ≡ y = - (√2)*x + √3/2 → K(0, + √3/2)
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E FINALMENTE IL RISULTATO
* |HK| = √3
http://www.wolframalpha.com/input/?i=polygon%280%2C-%E2%88%9A3%2F2%29%2C%28%E2%88%9A%282%2F3%29%2C-1%2F%282*%E2%88%9A3%29%29%2C%280%2C%E2%88%9A3%2F2%29%2C%28-%E2%88%9A%282%2F3%29%2C1%2F%282*%E2%88%9A3%29%29