[Risolto] Geometria analitica pt.2

1) Una retta è perpendicolare se il suo coefficiente è opposto e inverso, cioè

$m=-\frac{1}{m}$

Data la retta r:

$y=\frac{1}{3}x-2$  

la retta s perpendicolare a r è:

$y=-3x-2$

passante per l'origine vuol dire che $q=0$

quindi la retta sarà $y=-3x$ , scritta in forma implicita è $3x+y=0$

2) E' corretto, poichè la retta ha pendenza negativa quindi avrà un coefficiente $m<0$ e sostituendo i punti di intersezione di ciascuna retta data con l'asse delle ascisse e l'asse delle ordinate si dimostra che la retta è

$4x+y-4=0$

3) Per stabilire la distanza punto-retta si applica la seguente formula:

$d=\frac{|ax_0+by_0+c|}{\sqrt{a^2+b^2} }$

dove la retta data è $4x-3y-5=0$

quindi $a=4$, $b=-3$ , $c=-5$ ricordando la forma generica di una retta $ax+by+c=0$

Il punto dato è $P(-1;2)$ quindi sostituendo la distanza è: 

$d=\frac{|4(-1)+(-3)(2)+(-5)|}{\sqrt{4^2+(-3)^2} }=\frac{15}{5}= 3$

4) Data la retta $2x+2y-1=0$ per verificare la condizione di appartenenza bisogna ottenere un'identità.

• P(2,1) sostituiamo nella retta $2(2)+2(1)-1=5$ che è diverso da zero quindi P non appartiene alla retta
• P(0;\frac{1}{2}) sostituendo nella retta $2(0)+2(\frac{1}{2})-1=0$ che è un'identità quindi è la risposta corretta

5) Le rette $2x-y+5=0$ e $y=2x-3$ 

sono parallele poichè hanno lo stesso coefficiente angolare $m=2$

6) La bisettrice del II e IV quadrante ha pendenza negativa, quindi dobbiamo cercare una forma $y=-x$

• $x-y=0$ diventa $y=x$ che è la bisettrice del I e III quadrante
• $3x+3y=0$ diventa $3x=-3y$ cioè $y=-x$ che è la bisettrice del II e IV quadrante

Ciao!

1)

per essere perpendicolare alla retta $r$, che ha coefficiente angolare $m_r = \frac13$, deve avere coefficiente angolare $m_s = -\frac{1}{m_r} = -3 $. Passando poi per l'origine, l'intersezione della retta con l'asse $y$ avviene nel punto $y = 0$, quindi $q =0$, da cui

$y = mx+q \Rightarrow y = -3x \Rightarrow 3x+y = 0 $

2) Notiamo subito che incontra l'asse $y$ nel punto di ordinata $4$, quindi $q = 4$.

Inoltre deve avere coefficiente angolare negativo (perché è una retta decrescente) allora $y = - m x + 4 $ quindi deve essere per forza la prima opzione perchè: la seconda ha $q$ negativo e $m$ positivo, la terza non ha l'uguaglianza quindi non è una retta ma solo un'espressione, la terza ha $q$ giusto ma $m$ positivo. 

Tra l'altro vediamo anche dal grafico che la retta passa per i punti $(0,4)$ e $(1,0)$ quindi possiamo anche calcolare esplicitamente il coefficiente angolare:

$m = \frac{4-0}{0-1} = \frac{4}{-1} = -4 $

3) la distanza punto retta ha la formula: $P = (x_p, y_p)$, $r : ax + by +c = 0 $ quindi 

$d = \frac{ |a x_p + b y_p + c|}{\sqrt{a^2+b^2}}$ quindi nel nostro caso

$P = (-1; 2)$, $r: 4x-3y-5 = 0$, 

$d = \frac{ | (-1)(4)+(2)(-3)-5|}{\sqrt{4^2+(-3)^2}} = \frac{ | -4-6-5|}{\sqrt{16+9}} = \frac{|-15|}{\sqrt{25}} = \frac{15}{5}  = 3$

4) Sostituiamo le coordinate di $P$ nella retta, quindi

a) $2 \cdot 2 +2\cdot 1 - 1 \neq 0 $ falso

b) $2 \cdot 0 +2 \cdot \frac12 -1 = 0 $ vero

c) $2 \cdot (-\frac12)+2 \cdot 0 -1 \neq  0 $  falso

d) $2 \cdot 0 +2 \cdot 0 -1 \neq 0 $ falso

5) esprimiamole entrambe in modo esplicito: $-y = -2x-5 \Rightarrow y = 2x+5$ quindi notiamo che hanno lo stesso coefficiente angolare $m = 2$ quindi sono parallele. 

6) La bisettrice del II e IV quadrante è $y = -x $ quindi 

a) $y = x $ falso

b) 3y = -3x \Rightarrow y = -x $ vero

c) $y = x $ falso

d) $ 2y = 2x \Rightarrow y = x $ falso