punto 1) prendi due piani (possibilmente non paralleli) e metti a sistema; per esempio i seguenti due piani individuano una retta propria
$\begin{cases} x - 2z &= 1 \\ y + 3z &= 2 \end{cases}$
Questa è già la rappresentazione cartesiana della retta.
Per trovare quella parametrica, chiama una delle variabili "t". Per esempio $z=t$ e quindi
$x=1+2z=1+2t$
e
$y=2-3z=2-3t$
La rappresentazione parametrica risulta pertanto:
$\begin{cases} x &= 1+2t \\ y &= 2-3t \\ z &=t \end{cases}$
Punto 2)
siano $v_1=(1,2,3)$ e $v_2=(2,4,6)$ due vettori paralleli
e sia l'origine $O(0,0,0)$ il punto $P$ a mia scelta.
il piano passante per $P$ e perpendicolare ai due vettori è facilissimo:
$x+2y+3z=0$ dove i coefficienti di $x$, $y$ e $z$ sono le componenti del vettore $v_1$. il termine noto $d$ è $0$ poichè il piano passa per l'origine.
Punto 3)
Sia il centro $C(3,-1,1)$ e sia $\pi$ il piano $3x+4z-38=0$
Calcola la distanza del centro $C(3,-1,1)$ dal piano dato $\pi$. Questa sarà il raggio della sfera. A proposito, mi sa che il testo si è sbagliato, in quanto parla di circonferenza, ma di circonferenze con centro C e tangenti ad un piano ce ne sono infinite (tutte quelle che puoi tracciare sulla sfera di centro C e passanti per il punto di tangenza):
la formula della distanza punto-piano è:
$d(C,\pi)=\frac{|ax_P+by_P+cz_P+d|}{\sqrt{a^2+b^2+c^2}}$
Quindi
$d(C,\pi)=\frac{|3*3+4*1-38|}{\sqrt{9+16}}=\frac{25}{5}=5$
Quindi il raggio della sfera è pari a 5.
L'equazione della sfera è:
$(x-x_P)^2+(y-y_P)^2+(z-z_P)^2=R^2$
$(x-3)^2+(y+1)^2+(z-1)^2=25$
Svolgendo i quadrati:
$x^2-6x+9+y^2+2y+1+z^2-2z+1-25=0$
$x^2+y^2+z^2-6x+2y-2z-14=0$
Questa è l'equazione della sfera. Se il testo vuole una circonferenza, l'equazione della sfera andrebbe messa a sistema con l'equazione di un piano passante per il centro e per il punto di tangenza. Siamo sicuri che voglia questo?
