GEOMETRIA ANALITICA NELLO SPAZIO

Problema:

Data la retta di equazione $\{ x-5y+4=0, 2y+z-3=0\}$. Determinare il piano tangente alla superficie sferica di centro $C(1,3,-2)$ e raggio $r=√29$ parallelo alla retta assegnata. Determinare le coordinate del punto di tangenza.

Soluzione:

Per risolvere il quesito è opportuno lavorare direttamente con i vettori, si riscrive dunque la retta, intersezione di due piani, in forma parametrica.

$\{x=5t-4, y=t z=3-2t\}$ ciò significa che la retta è esprimibile come $(x,y,z)=(-4,0,3) + (5,1,-2)t$. Il vettore, ossia il termine con la t, ci indica la direzione della retta. Il piano per essere parallelo alla retta deve avere nel proprio span quel vettore. Si noti che il piano è di dimensione due, quindi avrà due vettori nel proprio span, a differenza della retta che ne ha uno solo. Se fai le superiori con span intendo la parte letterale dell'equazione in forma vettoriale, quindi i vettori seguiti dalle lettere $t,s,...$.

L'equazione della sfera può essere ricavata sapendo che è definita come $(x-x_c)²+(y-y_c)²+(z-z_c)²=r²$, ove le coordinate indicante con $c$ al pedice sono del centro della sfera e $r$ indica il raggio.

La sfera ha dunque equazione $(x-1)²+(y-3)²+(z+2)²=29$. 

Adesso è opportuno fissare un punto $P(x_0,y_0,z_0)$ sulla superficie di tale sfera, il piano avrà dunque come vettore normale $n=P-C=(a,b,c)$.

Poiché il vettore normale al piano è normale per definizione anche a quello della retta alla quale il piano deve essere parallelo, si ha che il prodotto scalare standard deve essere ⟨n,r⟩=0. Questa notazione indica la condizione di ortogonalità, con r si indica il vettore direzione della retta data.

Si deve dunque risolvere il seguente sistema, la prima equazione indica l'appartenenza del punto P alla sfera, mentre la seconda è la condizione di ortogonalità.

$\{(a+1-1)²+(b+3-3)²+(c-2+2)²=29, (a-1)(5)+(b-3)(1)+(c+2)(-2)=0\}$

Per giustificare i conti puoi dire che la norma del vettore normale è lunga quanto il raggio, ossia. $||n||²=a²+b²+c²=29$, fai finta di traslare il tutto all'origine per avere questa equivalenza. Ad ogni modo i risultati non cambiano.

$\{(a)²+(b)²+(c)²=29, (a)(5)+(b)(1)+(c)(-2)=0\}$

Fissando per semplicità $b=0$, dato che vi è una variabile indipendente che può assumere qualsiasi valore visto che il sistema è formato da due equazioni, si ha:

$(a,b,c)=(-2,0,-5), (a',b',c')=(2,0,5)$

Ciò ha senso perché se immagini una retta di direzione il vettore normale al piano essa buca la sfera in due punti, quindi è lecito pensare che vi siano due piani puntanti l'interno della sfera.

Poiché il vettore normale è stato definito come $n=P-C=(a,b,c)$, si ricava che i punti di tangenza sono descritti da $P=(a+1,b+3,c-2)$, i punti di tangenza sono dunque $P=(-1,3,-7), P'=(3,3,3)$. Da qui si ricavano i piani tangenti:

$π_1: -2(x+1)+0(y-3)-5(z-7)=0$

$π_2: 2(x-3)+0(y-3)+5(z-3)=0$