Geometria analitica: es 207

Il raggio vettore è perpendicolare alla corda AB nel suo punto medio 

M=(0;2)

Il coefficiente angolare della retta passante per i due punti è:

m_AB= 1

Il raggio vettore per M ha equazione 

y-2= - 1*x

Essendo il centro sull'asse x (y=0) l'intersezione delle due rette fornisce le coordinate

{y= - x+2

{y=0

Quindi:

C(2;0)

R=d(C;A) = 4

Quindi l'equazione della conica è:

(x-2)²+y²=16

La circonferenza Γ di raggio r e centro C(c, 0) sull'asse x è
* Γ ≡ (x - c)^2 + y^2 = r^2
Le condizioni di passaggio impongono i vincoli d'appartenenza
* per A(- 2, 0): (- 2 - c)^2 + 0^2 = r^2
* per B(2, 4): (2 - c)^2 + 4^2 = r^2
I due parametri sono la soluzione del sistema
* ((- 2 - c)^2 + 0^2 = r^2) & ((2 - c)^2 + 4^2 = r^2) & (r > 0) ≡
≡ (c = 2) & (r = 4)
da cui
* Γ ≡ (x - 2)^2 + y^2 = 4^2 ≡
≡ x^2 + y^2 - 4*x - 12 = 0
che è proprio il risultato atteso.

x^2 + y^2 + ax + by + g = 0;

g = a^2 + b^2 - r^2.

A(-2;0);  B(2;4);  Centro C (xc; 0) sull'asse x; 

xc = - a/2;

yc = - b/2 = 0; coordinate del centro;

b = 0;

Sostituiamo le coordinate di A e di B;

(xA - xc)^2 + (yA - yc)^2 = r^2; (1)

(xB - xc)^2 + (yB - yc)^2 = r^2; (2)

(-2 - xc)^2 + 0 = r^2;  (1) per A

(2 - xc)^2 + (4 - 0)^2 = r^2;  (2)   per B

(- 2 - xc)^2 = r^2; (1)

(2 - xc)^2 + 16 = r^2;  (2)

- 2 - xc = r;    (1)   xc = - r - 2; ascissa del centro C

(2 + r + 2)^2 + 16 = r^2;  (2)

(4 + r)^2 - r^2 + 16 = 0; (2)

16 + r^2 + 8r - r^2 + 16 = 0

8r =- 32

|r| = 32 / 8 = 4;

xc = 4 - 2 = 2

xc = - a/2;

yc = 0;

(x - 2)^2 + y^2 = 4^2

x^2 + 4 - 4x + y^2 = 16;

x^2 + y^2 - 4x - 12 = 0.

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