[Risolto] Geometria analitica ellisse

Esercizio 180
L'autore del risultato atteso (x^2/9 + y^2/3 = 1) in un esame sarebbe stato bocciato (con la motivazione «introduceva surrettiziamente un'ipotesi semplificativa assente dal tema proposto», infamante perché implica frode ai danni degli altri candidati), e in un concorso sarebbe stato spedito sul fondo della graduatoria, perché ha inteso che la frase «con i fuochi sull'asse x» oltre a significare che l'asse maggiore deve giacere sull'asse x significasse anche che l'asse minore debba giacere sull'asse y anziché essergli solo parallelo: ma ciò è falso! Assumerlo per vero vuol dire tentare di facilitare il proprio compito e finire prima dei colleghi più onesti: da qui la bocciatura.
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Quella frase significa semplicemente che l'equazione dell'ellisse ha la forma
* Γ ≡ ((x - k)/a)^2 + (y/b)^2 = 1, con a > b > 0
ma non significa affatto k = 0!
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La condizione di passare da (- √3, - √2) impone il vincolo
* (((- √3 - k)/a)^2 + (- √2/b)^2 = 1) & (a > b > 0) ≡ (a = √((k^2 + (2*√3)*k + 3)*b^2/(b^2 - 2))) & (b > 0)
da cui la semidistanza focale
* c = √(a^2 - b^2) = b*√((k^2 + (2*√3)*k + 3)/(b^2 - 2) - 1)
e l'eccentricità
* e = c/a = √((2 - b^2)/(k + √3)^2 + 1) = √(2/3) ≡
≡ b = √((k^2 + (2*√3)*k + 9)/3)
da cui
* a = √(k^2 + (2*√3)*k + 9)
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Sostituendo e semplificando si ha il fascio
* Γ(k) ≡ ((x - k)^2 + 3*y^2)/(k^2 + (2*√3)*k + 9) = 1
che dà il risultato atteso per k = 0, ma per k != 0 dà infinite ellissi come soluzioni altrettanto corrette.
Vedine alcune nel paragrafo "Plot of solution set" al link
http://www.wolframalpha.com/input?i=table%5B%28%28x-k%29%5E2--3*y%5E2%29%2F%28k%5E2--%282*%E2%88%9A3%29*k--9%29+%3D+1%2C%7Bk%2C-3%2C3%7D%5D