[Risolto] GEOMETRIA ANALITICA: CONICA

Ciao!

L'ellisse è ruotata, in quanto compare il termine rettangolare $xy$. Una rotazione di angolo $\alpha$ si esprime come:

$x'= cos\alpha x + sin\alpha y$

$y'= -sin\alpha x + cos\alpha y$

Sostituendo nell'equazione dell'ellisse si ottiene:

$(cos\alpha x + sin\alpha y)^2+(-sin\alpha x + cos\alpha y)^2+(cos\alpha x + sin\alpha y)(-sin\alpha x + cos\alpha y)-6=0$

Svolgendo i quadrati e le moltiplicazioni si arriva a:

$x^2(1-cos\alpha sin\alpha)+y^2(1+cos\alpha sin\alpha)+xy(cos^2 \alpha - sin^2 \alpha)-6=0$

L'obiettivo è annullare il termine $xy$, quindi

$cos^2 \alpha - sin^2 \alpha=0$

Una possibile soluzione è $\alpha=\pi/4$

In questo caso, andando a sostituire si ottiene:

$\frac{x^2}{2}+\frac{3y^2}{2}=6$ e quindi dividendo per $6$

$\frac{x^2}{12}+\frac{y^2}{4}=1$