[Risolto] Geometria analitica

RIPASSI
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1) La distanza del punto P(u, v) dal punto Q(p, q) è
* d = √((p - u)^2 + (q - v)^2)
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2) La distanza del punto P(u, v) dalla retta
1a) x = k è d = |u - k|
1b) y = k è d = |v - k|
1c) y = m*x + q è d = |(m*u + q - v)|/√(m^2 + 1)
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Il triangolo ABC ha vertici A(0, 8), B(6, 0), C(0, 0) e lati
* a = |BC| = 6, sulla retta BC ≡ y = 0 (l'asse x)
* b = |AC| = 8, sulla retta AC ≡ x = 0 (l'asse y)
* c = |AB| = √(6^2 + 8^2) = 10, sulla retta AB ≡ y = 8 - (4/3)*x
Il calcolo dei punti centrali discende direttamente dalle loro definizioni.
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A) baricentro G: centro di massa (per masse eguali nei vertici).
Le sue coordinate sono la media aritmetica semplice delle omologhe dei vertici.
* xG = (xA + xB + xC)/3 = (0 + 6 + 0)/3 = 2
* yG = (yA + yB + yC)/3 = (8 + 0 + 0)/3 = 8/3
* G(2, 8/3)
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B) circumcentro O: centro della circonferenza circoscritta.
Quindi è l'unico punto del piano equidistante dai vertici, e la comune distanza è il circumraggio R.
Questa definizione indica tre equazioni in {xO, yO, R}
* |OA|^2 = |OB|^2 = |OC|^2 = R^2
Vedi Ripasso #1
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C) incentro I: centro della circonferenza inscritta.
Quindi è l'unico punto del piano equidistante dai lati, e la comune distanza è l'inraggio r.
Vedi Ripasso #2
A fine calcoli si trova che le sue coordinate sono la media aritmetica delle omologhe dei vertici pesata con le misure dei lati opposti.
* xI = (a*xA + b*xB + c*xC)/(a + b + c) =
* yI = (a*yA + b*yB + c*yC)/(a + b + c) =
* I(, )
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D) ortocentro H: centro delle perpendicolari.
Le perpendicolari del nome sono le altezze da un vertice al lato opposto.
Non conosco una formula che ne dia le coordinate in funzione delle omologhe dei vertici, occorre calcolarsele intersecando due altezze.
Ciascuno dei quattro punti ABCH è l'ortocentro degli altri tre, per triangoli né degeneri né rettangoli.
Per i triangoli rettangoli, come in questo caso, si identifica per ispezione: il vertice dell'angolo retto.
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TI LASCIO IL PIACERE DEI CALCOLI DI DETTAGLIO.

L'incentro è il punto di incontro delle 3 bisettrici del triangolo: è quindi il centro della circonferenza inscritta a tale triangolo.

Il circocentro è il punto di incontro degli assi relativi ai lati del triangolo: è quindi il centro della circonferenza circoscritta a tale triangolo.

Il baricentro è il punto di incontro delle 3 mediane del triangolo.

L'ortocentro è il punto di incontro relativo alle 3 altezze del triangolo.

L'ortocentro indovina dove è?