[Risolto] domanda sui modulari

Ciao.

La logica è sempre la stessa.

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{ABS((x - 4)/(3 - 2·x)) = (x - 4)/(3 - 2·x)

{(x - 4)/(3 - 2·x) ≥ 0

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{ABS((x - 4)/(3 - 2·x)) = (4 - x)/(3 - 2·x)

{(x - 4)/(3 - 2·x) < 0

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Cioè: si libera il modulo in 2 modi. Se l'argomento è NON NEGATIVO (≥ 0) puoi togliere il modulo e scrivere solo l'argomento; se invece l'argomento è NEGATIVO devi prendere l'opposto dell'argomento stesso.

Di nuovo.

Risolviamo la disequazione fratta:

Vediamo il segno dell'argomento del modulo

(x - 4)/(3 - 2·x) ≥ 0------> 3/2 < x ≤ 4

(x - 4)/(3 - 2·x) < 0------> x < 3/2 ∨ x > 4

Quindi liberi il modulo con queste due possibilità:

POSSIBILITA' N° 1

{(x - 4)/(3 - 2·x) ≥ (4·x + 7)/(3 - 2·x) - 2

{3/2 < x ≤ 4

POSSIBILITA' N° 2

{(4 - x)/(3 - 2·x) ≥ (4·x + 7)/(3 - 2·x) - 2

{x < 3/2 ∨ x > 4

Si risolvono quindi i due sistemi e si uniscono dopo le loro soluzioni.

Sistema 1

1^ disequazione:

(x - 4)/(3 - 2·x) - (4·x + 7)/(3 - 2·x) + 2 ≥ 0

si porta alla forma normale:

(7·x + 5)/(2·x - 3) ≥ 0--------> x ≤ - 5/7 ∨ x > 3/2

Quindi :

{x ≤ - 5/7 ∨ x > 3/2

{3/2 < x ≤ 4

Soluzione del 1° sistema: 3/2 < x ≤ 4

Sistema 2

1^ disequazione:

(4 - x)/(3 - 2·x) - (4·x + 7)/(3 - 2·x) + 2 ≥ 0

3·(3·x - 1)/(2·x - 3) ≥ 0------> x ≤ 1/3 ∨ x > 3/2

Quindi:

{x ≤ 1/3 ∨ x > 3/2

{x < 3/2 ∨ x > 4

soluzione del 2° sistema: x ≤ 1/3 ∨ x > 4

Uniamo i due risultati:

(3/2 < x ≤ 4 ∨ (x ≤ 1/3 ∨ x > 4)) = (x ≤ 1/3 ∨ x > 3/2) soluzione finale

I diversi casi nelle dis/equazioni con i moduli [NON i modulari] abs(f(x)) o |f(x)| sono essenzialmente tre. Il trattamento vale in generale per ogni forma di funzione f(x), che ci siano o meno linee di frazione. Si deve avere presente che eliminare un modulo vuol dire sdoppiare la dis/equazione che lo conteneva in due altre di cui l'originale rappresentava o l'unione o l'intersezione.
Le tre relazioni sono
a) |a| <= b ≡ (- b <= a <= b) ≡ (- b <= a) & (a <= b) [intersezione]
b) |a| = b ≡ (a = ± b) ≡ (a = - b) || (a = + b) [unione]
c) |a| >= b ≡ (a <= - b) || (b <= a) [unione]
e valgono le analoghe per le diseguaglianze strette.
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NEL CASO IN ESAME
La disequazione
* |(x - 4)/(3 - 2*x)| >= (4*x + 7)/(3 - 2*x) - 2
cade sub c e si sdoppia come segue.
672) |(x - 4)/(3 - 2*x)| >= b ≡
≡ ((x - 4)/(3 - 2*x) <= - ((4*x + 7)/(3 - 2*x) - 2)) oppure ((4*x + 7)/(3 - 2*x) - 2 <= (x - 4)/(3 - 2*x)) ≡
≡ ((x <= 1/3) oppure (x > 3/2)) oppure ((x <= - 5/7) oppure (x > 3/2)) ≡
≡ (x <= 1/3) oppure (x > 3/2)