[Risolto] Geometria analitica

Equazioni parametriche della retta passante per:

P [5, -1, 1]

Q [2, 0, 2]

{x = 5 + α·t

{y = -1 + β·t

{z = 1 + γ·t

per cui:

per t = 0 → [5, -1, 1]

per t = 1 → [2, 0, 2]

2 = 5 + α·1----> α = -3

0 = -1 + β·1----> β = 1

2 = 1 + γ·1----> γ = 1

Quindi:

{x = 5 - 3·t

{y = -1 + t

{z = 1 + t

-------------------------------------

equazioni cartesiane:

Risolvo in t le equazioni precedenti

t = (5 - x)/3

t = y + 1

t = z - 1

Quindi:

(5 - x)/3 = y + 1 = z - 1

che possiamo anche scrivere e vedere come intersezione fra due piani nello spazio:

{(5 - x)/3 = y + 1

{y + 1 = z - 1

Ricaviamo la retta in forma parametrica 

$ r: P+t(Q-P) = (5, -1, 1) + t (-3,1,1) $ ovvero

$ \left\{\begin{align} x &= 5 - 3t \\ y &= -1+t \\ z &= 1+t \end{align} \right. $

Ricaviamo la retta in forma cartesiana.

dalla formula generale

$ \left\{\begin{align} \frac{x-x_p}{x_q-x_p} &= \frac{y-y_p}{y_q-y_p} \\ \frac{y-y_p}{y_q-y_p} & = \frac{z-z_p}{z_q-z_p} \end{align} \right. $

$ \left\{\begin{align} \frac{x-5}{-3} &= y+1 \\ y+1 & = z-1 \end{align} \right. $

$ \left\{\begin{align} x+3y &= 2 \\ y-z & = -2 \end{align} \right. $