[Risolto] Geometria analitica

Con le solite manipolazioni
* x^2 - y^2 - 4*x - 2*y - 5 = 0 ≡
≡ x^2 - 4*x - y^2 - 2*y - 5 = 0 ≡
≡ (x - 2)^2 - 4 + 1 - (y + 1)^2 - 5 = 0 ≡
≡ (x - 2)^2 - (y + 1)^2 - 4 + 1 - 5 = 0 ≡
≡ (x - 2)^2 - (y + 1)^2 = 8 ≡
≡ ((x - 2)/√8)^2 - ((y + 1)/√8)^2 = 1
dall'equazione data si ottiene la forma normale standard di un'iperbole
* centrata in C(2, - 1)
* con assi (x = 2; y = - 1) paralleli a quelli coordinati
* con i fuochi sull'asse x = 2 (secondo membro > 0)
* equilatera (semiassi a = b = √8 = 2*√2 ~= 2.83; asintoti ortogonali, bisettrici degli assi di simmetria)
* coi vertici V(xC ± a, yC) ≡ V(2 - 2*√2, - 1) oppure V(2 + 2*√2, - 1)
* con asintoti (y = 1 - x) oppure (y = x - 3)
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Da tale esame discende la strategia di tracciamento.
1) Tracciare, in linea tratteggiata, le rette:
1a) gli assi x = 2, y = - 1;
1b) gli asintoti y = 1 - x, y = x - 3;
1c) le tangenti di vertice x = 2 - 2*√2, x = 2 + 2*√2.
2) Marcare i punti:
2a) due di vertice;
2b) un opportuno numero di quadruple, in simmetria quadrantale, di (k, √((k - 2)^2 - 8) - 1) con k > 2 + 2*√2.

x^2 - y^2 - 4·x - 2·y - 5 = 0

Applichiamo il completamento dei quadrati

(x^2 - 4·x + 4) - (y^2 + 2·y + 1) - 5 - 4 + 1 = 0

(x - 2)^2 - (y + 1)^2 = 8

(x - 2)^2/8 - (y + 1)^2/8 = 1

Iperbole equilatera