Nel triangolo isoscele $A B C$, di base $A B, D$ ed $E$ sono i punti medi rispettivamente di $A C$ e $C B$. Sapendo che $A B=48 cm$ e $C B=40 cm$, deter$\operatorname{mina} P$ su $A B$ in modo che:
$$
\overline{P D}^{2}+\frac{3}{61} \overline{P E}^{2}=560
$$
$[P B=19 cm ]$
20
punti
Livello 0
Ex.478
Proietta D sulla base AB. La sua proiezione sia H. Hai AH=12 cm. Fai lo stesso con E: la sua proiezione sia K.
Anche qui hai KB=12 (il tutto è espresso in cm)
Con Pitagora calcoli DH^2=EK^2= 20^2 - 12^2 = 256 ( DH=EK= 16)
Chiami PB=x, quindi AP= 48-x
Adesso fai riferimento ai triangoli rettangoli DHP e PEK. Per essi vale il teorema di Pitagora (che rottura!):
Quindi:
PD^2=(48 - x - 12)^2 + 16^2 = x^2 - 72·x + 1552
PE^2=(x - 12)^2 + 16^2 = x^2 - 24·x + 400
Deve quindi risultare:
(x^2 - 72·x + 1552) + 3/61·(x^2 - 24·x + 400) = 560
Questa è un'equazione di 2° grado che fornisce come soluzione:
x = 203/4 ∨ x = 19, ossia---->x = 50.75 ∨ x = 19
Il primo valore lo scarti: ottieni quindi PB=19 cm
77312
punti
Genius II
@lucianop grazie mille
