[Risolto] Due oggetti lanciati verso l'alto

IL TESTO DEL QUESITO E' EQUIVOCO: La specificazione "raggiungano la stessa altezza nello stesso istante" si può interpretare in almeno due modi (quindi il "problema parlato", non essendo ben posto, non è un problema scientifico, ma tecnologico; un fisico rifiuta di affrontare un problema mal posto, un ingegnere cerca di estrarne uno ben posto o intervistando il committente o, se da esso autorizzato, ponendo ragionevoli ipotesi aggiuntive.)
1) Può esistere una quota "h" per la quale entrambi transitino contemporaneamente?
2) Possono entrambi contemporaneamente fermarsi alla medesima quota massima "H"?
Da ingegnere interpreto (arbitrariamente, il committente non è intervistabile!) nel modo #1.
------------------------------
Se si tratta di due OGGETTI può essere impossibile (dipende dal "poco dopo").
Se invece si tratta di due PUNTI MATERIALI (PM) dovrebb'essere possibile (non dipende dal "poco dopo") quasi sempre.
Ovviamente è comunque impossibile se il secondo si lancia quando il primo è già ricaduto a terra.
---------------
"Spiega"
Il secondo PM si lancia con velocità iniziale opportunamente scelta secondo quant'è il "poco dopo" e la velocità iniziale del primo lancio.
Se invece si tratta di oggetti uno dei due (o entrambi) potrebbe raggiungere la velocità limite prima del dovuto, secondo quant'è il "poco dopo", e così compromettere la possibilità d'incontro.
------------------------------
QUI FINISCE LA "risposta parlata" AL "problema parlato" nell'interpretazione #1.
Poi, per dimostrare o confutare la verità delle affermazioni, un po' di conti lo si deve fare.
==============================
MRUA
* s(t) = S + t*(V + (a/2)*t)
* v(t) = V + a*t
Nel lancio verso l'alto
* a = - g
* la posizione iniziale S è zero per entrambi i PM.
Se "poco dopo" è un ritardo di r secondi, le leggi si specializzano come segue.
---------------
Primo lancio all'istante zero con velocità iniziale V > 0
* s(t) = t*(V - (g/2)*t)
* v(t) = V - g*t
---------------
Secondo lancio all'istante r > 0 con velocità iniziale W > 0
* s(t) = (t - r)*(W - (g/2)*(t - r))
* v(t) = W - g*(t - r)
---------------
L'ipotetica "quota h" esiste sse esistono soluzioni reali T dell'equazione in t
* t*(V - (g/2)*t) = (t - r)*(W - (g/2)*(t - r)) ≡
≡ T = (r/2)*(g*r + 2*W)/(g*r + W - V)
radice che è reale e positiva sse
* g*r + W - V > 0
e in tal caso si ha la quota
* h = s(T) = ((r/2)*(g*r + 2*W)/(g*r + W - V))*(V - (g/2)*(r/2)*(g*r + 2*W)/(g*r + W - V)) =
= (r/8)*(2*W + g*r)*(2*W + g*r - 2*V)*(2*V - g*r)/(g*r + W - V)^2
che è reale e positiva, mantenendo reale e positiva T, sse
* ((0 < V < g*r/2) & (0 < W < V - g*r/2)) oppure ((V > g*r/2) & (W > V - g*r/2))
---------------
RISPOSTA
Nell'ipotesi che sia
* ((0 < V < g*r/2) & (0 < W < V - g*r/2)) oppure ((V > g*r/2) & (W > V - g*r/2))
i due PM raggiungono la stessa altezza
* h = (r/8)*(2*W + g*r)*(2*W + g*r - 2*V)*(2*V - g*r)/(g*r + W - V)^2
nello stesso istante
* T = (r/2)*(g*r + 2*W)/(g*r + W - V)
============================================================
BREVE ESAME DELL'INTERPRETAZIONE #2
==============================
Il primo PM raggiunge il culmine all'istante t1 in cui
* v(t1) = V - g*t1 = 0 ≡ t1 = V/g
alla quota
* H1 = s(t1) = (V/g)*(V - (g/2)*V/g) = V^2/(2*g)
---------------
Il secondo PM raggiunge il culmine all'istante t2 in cui
* v(t2) = W - g*(t - r) = 0 ≡ t2 = (g*r + W)/g
alla quota
* H2 = s(t2) = ((g*r + W)/g - r)*(W - (g/2)*((g*r + W)/g - r)) =
= W*((g*r + W)/g - r) - (g/2)*((g*r + W)/g - r)^2
---------------
I due PM raggiungono la stessa altezza H nello stesso istante T sse ha soluzioni accettabili il sistema
* (t1 = t2) & (H1 = H2) ≡
≡ (V/g = (g*r + W)/g) & (V^2/(2*g) = W*((g*r + W)/g - r) - (g/2)*((g*r + W)/g - r)^2) ≡
≡ (V = W) & (r = 0) oppure (V = g*r/2) & (W = - g*r/2)
quindi la cosa è impossibile perché
* la prima opzione implicherebbe lancio contemporaneo, contro la condizione "poco dopo";
* la seconda opzione implicherebbe r < 0, cioè "poco prima"!
E NESSUNA DELLE DUE SOLUZIONI E' ACCETTABILE.

NO

Perché l'altezza raggiunta nei due casi è diversa. Infatti l'altezza raggiunta se x è la velocità iniziale del 1° oggetto , vale: s = x^2/(2·g)

L'altezza raggiunta dal secondo oggetto se la velocità iniziale è y, vale: s = y^2/(2·g)

Se si vuole che raggiungano la stessa altezza, le due velocità iniziali debbono essere uguali ed inoltre debbono essere lanciati contemporaneamente.