Considera un quadrato $A B C D$ il cui lato misura $a$. Indica con $M$ il punto medio del lato $B C$. Determina due punti $P$ e $Q$, appartenenti rispettivamente ai lati $A B$ e $C D$ del quadrato, che soddisfino entrambe le condizioni seguenti:
a. I'area del triangolo $P B M$ sia il doppio dell'area del triangolo $C M Q$;
b. l'area del triangolo $P M Q$ sia uguale ad $\frac{a^2}{4}$.
$$
\left[\overline{A P}=\frac{a}{3}, \overline{D Q}=\frac{2 a}{3}\right]
$$
70
punti
Livello 1
Essendo M il punto medio del lato, se vogliamo che l'area di PBM sia doppia dell'area di QCM, deve essere:
PB= 2*QC
Pongo:
QC=x
PB=2x
La seconda relazione è equivalente a:
A(PMQ) = A_quadrato - A(APQD) - 3*A(QCM) = a²/4
Quindi:
a² - [(2a-3x)*a]/2 - (3/4)ax = a²/4
3ax=a²
x= a/3
AP= a - (2/3)a = a/3
DQ= a-(a/3) = (2/3)a
77016
punti
Genius II
Con riferimento alla figura allegata, devi risolvere:
{1/2·(x + y)·a + 1/2·(a - x)·a/2 + 1/2·(a - y)·a/2 = a^2 - a^2/4
{1/2·(a - x)·a/2 = (a - y)·a/2
(in figura a=6 tanto per avere dei numeri)
Se risolvi il sistema di sopra ottieni:[x = a/3 ∧ y = 2·a/3]
115471
punti
Genius III
