CeC' sono due circonferenze concentriche con i raggi uno doppio dell'altro. Da un punto P del la circonferenza di raggio maggiore conduci le tangenti all'altra circonferenza e dimostra che il triangolo formato dal punto P e dai punti di tan genza è equilatero.
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Livello 0
Come puoi vedere dalla figura, il triangolino ACP è rettangolo in A perché la tangente è perpendicolare al raggio r.
L'ipotenusa PC misura 2r perché è il raggio della circonferenza più grande. L'angolo opposto al cateto AC che misura r, cioè metà dell'ipotenusa è 30°.
ACP è rettangolo con gli angoli 90°, 30°, 60°.
Quindi l'angolo in P, APB misura 2 * 30° = 60°.
Il triangolo ABP ha due lati congruenti, AP = BP, quindi è isoscele. L'angolo al vertice in P misura 60°, quindi anche gli angoli alla base in A e in B misurano 60°. Il triangolo è equilatero.
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Genius I
PROCEDEREI ALL'INVERSO, SI COMPRENDE UN PO' MEGLIO.
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1) Ogni triangolo ABC, con lati lunghi {a, b, c} ed area S è sia inscrittibile che circoscrittibile cioè possiede
* un incerchio tangente ai tre lati centrato nell'unico punto del piano equidistante da essi e con inraggio r = 2*S/(a + b + c)
* un circumcerchio per i tre vertici centrato nell'unico punto del piano equidistante da essi e con circumraggio R = a*b*c/(4*S)
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2) Se ABC è equilatero di lato L allora, per simmetria, mediane bisettrici e altezze coincidono; e coincidono di conseguenza baricentro ortocentro incentro e circumcentro dividendo le mediane in due parti: quella col vertice (circumraggio) doppia di quella che tocca il lato (inraggio).
Quindi incerchio e circumcerchio sono concentrici e il circumraggio è doppio dell'inraggio
* R = 2*r = L/√3
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3) Dire "Γ e Γ' sono due circonferenze concentriche con i raggi uno doppio dell'altro." equivale a dire "Γ e Γ' sono incerchio e circumcerchio di un triangolo equilatero." i lati uscenti da un vertice sul circumcerchio sono tangenti all'incerchio (per simmetria) nei propri punti centrali
vedi al link
http://www.wolframalpha.com/input/?i=triangle+1+1+1+incircle
Pertanto la congiungente due punti di tangenza stacca, dalla parte del vertice, un triangolino simile con rapporto 1/2.
Unendoli tutt'e tre si suddivide il triangolo originario in quattro triangolini ad esso simili e fra loro congruenti.
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