geometria

Rotazione completa di un triangolo rettangolo attorno all'ipotenusa, qual è la formula per calcolare la sua superficie?

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Come vedi dal disegno l'altezza CH relativa all'ipotenusa AB è il raggio di base comune dei due coni, formati dalla rotazione completa del triangolo rettangolo, mentre i cateti AC e BC corrispondono agli apotemi dei due coni, quindi poni:

raggio di base $\small = r;$

apotema del cono minore $\small a_1;$

apotema del cono maggiore $\small a_2;$

circonferenza $\small c= r·2\pi;$

l'area totale del solido è la somma delle due aree laterali dei coni quindi, trovata la circonferenza di base, puoi calcolare:

area totale del solido $\small At= \dfrac{c·(a_1+a_2)}{2}.$ 

Se, per esempio, il triangolo rettangolo è quello della 1^ terna pitagorica (3 ; 4; 5) cm  , allora :

A = 3,1416*3*4/5*(3+4) = 3,1416*2,4*7 = 52,78 cm^2 

Rotazione completa di un triangolo rettangolo attorno all'ipotenusa , qual è la formula per calcolare la sua superficie laterale?

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Non esiste la formula! Dipende da quello che hai a disposizione! Le formule , forse , è meglio dimenticarsele ed arrivare alla soluzione con pochi concetti che hai a disposizione. Tutto è meglio fare con il ragionamento... ( e non è solo il mio punto di vista)

Esempio 

Supponiamo di sapere le dimensioni dei cateti : a e b

Fatti sempre un disegno su cui poterci ragionare sopra:

Una rotazione attorno all'ipotenusa c comporta la visualizzazione di due coni con stessa base di raggio r e di apotema i due cateti a e b dati.

Α1 = 1/2·(2·pi·r)·a = pi·a·r = superficie laterale cono di sinistra

A2 = 1/2·(2·pi·r)·b = pi·b·r = superficie laterale cono di destra

Α = pi·a·r + pi·b·r = pi·r·(a + b)

Adesso ti calcoli h=r= altezza relativa all'ipotenusa

r = 2·(1/2·a·b)/c  (tra parentesi l'area del triangolo rettangolo): formula inversa

r = a·b/c

Α = pi·(a·b/c)·(a + b) ----> Α = pi·a·b·(a + b)/√(a^2 + b^2)

Non imparare formule a memoria!!! La memoria fa spesso cilecca!

Otteniamo due coni con il cerchio di base in comune; il cerchio resta all'interno, la sua superficie non c'è nel calcolo della superficie laterale del solido.

Occorrono i due apotemi a1 e a2, che sono i cateti del triangolo rettangolo;

Occorre l'altezza relativa all'ipotenusa (CH in figura),  che diventa il raggio r della circonferenza di base dei due coni.

C = 2 * π * r; circonferenza;

Area laterale del cono = C * a /2;

Area del solido = C * a1 / 2 + C * a2 /2;

Area del solido = C * (a1 + a2) / 2;

Area del solido = 2 π r * (a1 + a2) / 2;

ricorda che il raggio r è l'altezza che cade sull'ipotenusa.

Esempio: se i cateti sono:  a1 = 3 cm; a2 = 4 cm;

l'ipotenusa è uguale alla radice(3^2 + 4^2) = radice(25);

ipotenusa = 5 cm;

Area triangolo = 3 * 4 / 2 = 6 cm^2;

altezza relativa all'ipotenusa = Area * 2 / base = 6 * 2 / 5 = 2,4 cm (raggio del cerchio);

Area del solido = 2 π * 2,4 * (3 + 4) / 2 = 4,8 π * (7/2) = 16,8 π cm^2;

Ciao @beafatu

E' la somma delle superfici laterali di due coni i cui apotemi hanno misure a e b e raggio 

di base che ha misura r = ab/sqrt(a^2 + b^2).

quindi S = pi r a + pi r b = pi (a + b)* ab/sqrt(a^2 + b^2).

https://www.sosmatematica.it/contenuti/area-della-superficie-laterale-di-un-cono-circolare-retto/