[Risolto] Gauss Green

Ciao @sergix!

Le formule di Gauss-Green ti consentono di calcolare l'area di un dominio considerando l'integrale di linea lungo il bordo del dominio stesso, invece che come integrale di superficie. In pratica trasformi l'integrale doppio in questo modo: 

$A(D) = \int\int_D dxdy = \frac{1}{2} \int_{\partial D^+} xdy - ydx$

Cominciamo prima di tutto a capire come è fatto il nostro dominio:

$y=x(x^2-1) = x^3 - x$ è una cubica il cui grafico passa per (0,0) e (1,0).

$y=x(1-x) = x-x^2$ è una parabola rivolta verso il basso, passante per gli stessi punti. 

Graficamente il dominio che stiamo considerando è questo:

Quando usi Gauss-Green devi considerare la frontiera del dominio, che in questo caso è composto da due pezzi: l'arco di parabola sopra e il pezzo di cubica sotto.

Per calcolare l'integrale di linea dobbiamo parametrizzare i due pezzi di frontiera, il che si fa facilmente dato che entrambe le curve sono di tipo cartesiano (cioè con la y esplicitata).

Ricorda che la frontiera va percorsa in senso positivo, ecco perché ho messo le due freccette in figura.

Cominciamo con la parabola, che va percorsa quindi dal punto (1,0) verso l'origine (0,0).

Essendo la sua equazione:

$y=x-x^2$

Possiamo parametrizzare semplicemente considerando:

{$x=t$

{$y=t-t^2$

con $0\leq t \leq 1$. Attenzione al verso di percorrenza! Facendo variare la t da 0 a 1, percorriamo la parabola dall'origine a (1,0), mentre noi dobbiamo andare in verso opposto. L'integrale quindi cambia di segno.

Calcolo a parte l'integrale su questa frontiera, poi mettiamo tutto insieme:

$\int_{\partial D_1^+} xdy - ydx = - \int_0^1 [t(1-2t) - (t-t^2)]dt$

dove ho sostituito $x$ e $y$ con la parametrizzazione e i differenziali $dx=1dt$ e $dy=(1-2t)dt$ sono le due derivate rispetto a $t$ della parametrizzazione.

Risolvendo:

$- \int_0^1 [t(1-2t) - (t-t^2)]dt = -\int_0^1 (t-2t^2-t+t^2) dt = -\int_0^1 (-t^2)dt = [\frac{t^3}{3}]_0^1 = \frac{1}{3} $

Passiamo al secondo integrale. Anche qui parametrizziamo $y=x^3 -x$ semplicemente come:

{$x=t$

{$y=t^3-t$

con $0\leq t \leq 1$ che stavolta è già percorso nel verso corretto. Abbiamo quindi:

$\int_{\partial D_2^+} xdy - ydx = + \int_0^1 [t(3t^2-1) - (t^3-t)]dt$

e risolvendo:

$\int_0^1 [t(3t^2-1) - (t^3-t)]dt = \int_0^1 (3t^3-t^2-t^3+t)dt = \int_0^1 (2t^3-t^2+t)dt = [2\frac{t^4}{4}-\frac{t^3}{3}+\frac{t^2}{2}]_0^1 = \frac{1}{2}-\frac{1}{3}+\frac{1}{2} = \frac{2}{3}$

Mettiamo tutto insieme e abbiamo:

$A(D) = \frac{1}{2}[\frac{1}{3}+\frac{2}{3}] = \frac{1}{2}$

Noemi