[Risolto] Funzioni parametriche

Quindi:

La cubica è: y = - x^3 + 2·x

Soluzione:

D'OFFESA NON TI SIA: io non mi fido dei calcoli miei, pensa di quelli altrui!
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Il generico polinomio cubico e le sue due prime derivate sono
* f(x) = y = a*x^3 + b*x^2 + c*x + d = ((a*x + b)*x + c)*x + d
* f'(x) = 3*a*x^2 + 2*b*x + c = (3*a*x + 2*b)*x + c
* f''(x) = 6*a*x + 2*b = 2*(3*a*x + b)
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Dal sistema dei vincoli
* (f(0) = 0) & (f(1) = 1) & (f'(0) = 2) & (f''(1) = - 6) ≡
≡ (((a*0 + b)*0 + c)*0 + d = 0) & (((a*1 + b)*1 + c)*1 + d = 1) & ((3*a*0 + 2*b)*0 + c = 2) & (2*(3*a*1 + b) = - 6) ≡
≡ (c = 2) & (d = 0) & (((a*1 + b)*1 + 2)*1 = 1) & (2*(3*a*1 + b) = - 6) ≡
≡ (c = 2) & (d = 0) & (b = - (a + 1)) & (2*(3*a*1 - (a + 1)) = - 6) ≡
≡ (a = - 1) & (b = 0) & (c = 2) & (d = 0)
si ha
* f(x) = y = - x^3 + 2*x = x*(2 - x^2)
* f'(x) = 2 - 3*x^2
* f''(x) = - 6*x
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OK, i calcoli miei sono come i tuoi.
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PUNTO D
All'ascissa uno si ha
* f(1) = y = 1*(2 - 1^2) = 1
* f'(1) = 2 - 3*1^2 = - 1
Quindi il grafico di y = f(x) passa per T(1, 1) con pendenza m = - 1, cioè con tangente parallela alla bisettrice dei quadranti pari.
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Ne segue che la circonferenza Γ richiesta deve avere il centro C sulla retta r per T con pendenza m' = + 1, cioè sulla bisettrice dei quadranti dispari
* r ≡ y = x
cioè dev'essere C(k, k) che dista da T
* |CT| = (√2)*|k - 1|
da cui
* Γ ≡ (x - k)^2 + (y - k)^2 = ((√2)*|k - 1|)^2
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La condizione di passare per l'origine impone il vincolo
* (0 - k)^2 + (0 - k)^2 = ((√2)*|k - 1|)^2
da cui
* k = 1/2
* Γ ≡ (x - 1/2)^2 + (y - 1/2)^2 = 1/2 ≡
≡ x^2 - x + y^2 - y = 0