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funzioni matematica

  

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Studiare il grafico della funzione

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Determinare l’equazione della retta tangente al grafico nel punto x = 2.
Si consideri la funzione F(x, y) = x^3 − 3xy^2 + 6y:
a) calcolare la derivata direzionale di F lungo il vettore v = (3, −1) nel punto (x, y) = (1, 0);
b) verificare che (x, y) = (1, 1) `e un punto di sella.

Autore

@aurora10 

Ciao . Adesso devo uscire. Intanto guarda il grafico che ti ho inviato in merito al 1 esercizio. 

3 Risposte
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@aurora10

Ciao e benvenuta. Un solo esercizio per volta precisando le tue difficoltà nell’affrontarlo.

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La funzione è pari:

f(-x)=(-x)^2/√((-x)^2 - 3)=x^2/√(x^2 - 3)-----> f(-x)=f(x)

manifesta simmetria assiale rispetto asse delle y

C.E.

x^2 - 3 > 0-------> x < - √3 ∨ x > √3

Intersezioni con gli assi

Con asse delle y (cioè x=0) NON ESISTE perché per x=0 non esiste la funzione

Con asse delle x (cioè y=0 NON ESISTONO: lo si deduce dal C.E. in quanto per i valori che possono assumere le x rendono sempre positiva la funzione

Segno funzione

Sempre positiva!

Condizioni agli estremi del C.E. ]-inf;- √3[U]√3;+inf[

I 4 limiti che devi considerare sono infiniti. In particolare quelli intermedi denunciano la presenza di due asintoti verticali. Ci potrebbero essere due asintoti obliqui sinistro e destro.

Calcolo delle due derivate: (ti riporto solo i risultati)

y' = x·(x^2 - 6)/(x^2 - 3)^(3/2)

y'' =3·(x^2 + 6)/(x^2 - 3)^(5/2)

Minimi relativi ed assoluti

Studia il numeratore della derivata prima con la condizione del C.E.

{x(x^2-6)>0

{x < - √3 ∨ x > √3

Risolvi ed ottieni : [- √6 < x < - √3, x > √6]

Quindi deduci i due minimi in corrispondenza di x=- √6 ed x=√6

Concavità: sempre verso l'alto in quanto y'' sempre positivo

Asintoti obliqui sono presenti due asintoti: sinistro e destro con coefficiente angolare rispettivo -1 e +1

 

@lucianop  ok  i scusi per caso mi potrebbe aiutare




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Ti svolgo parzialmente anche il secondo:

z = x^3 - 3·x·y^2 + 6·y

C.N.

{3·x^2 - 3·y^2 = 0

{6 - 6·x·y = 0

Quindi:

{(x + y)·(x - y) = 0

{1 - x·y = 0

risolvi ed ottieni come punti critici reali

[x = 1 ∧ y = 1, x = -1 ∧ y = -1]

(gli altri due sono complessi)

Calcola poi l'Hessiano:

H=

|6x........-6y|

|-6y.......-6x|

H(x,y)=- 36·x^2 - 36·y^2

H(1,1)=-72<0 punto di sella

@lucianop  come funziona hessiano

 

come funziona hessiano?

E' il determinante della matrice quadrata in cui sono inserite le derivate parziali del 2° ordine:

|z''xx.............z''xy|

|z''yx.............z''yy|

Quindi lo calcoli in corrispondenza dei valori critici trovati viene un numero per ogni punto critico trovato. Se risulta:

H>0 e z''xx<0 hai un massimo relativo

H>0 e z''xx>0 hai un minimo relativo

H<0 hai un punto di sella

H=0 hai un caso dubbio e ti tocca procedere in altro modo.

1

Io svolgo questo

 

Si consideri la funzione F(x, y) = x^3 − 3xy^2 + 6y:
a) calcolare la derivata direzionale di F lungo il vettore v = (3, −1) nel punto (x, y) = (1, 0);

 

grad F = (3x^2 - 3y^2, - 6xy + 6)

df/dv = grad F*v = (3x^2 - 3y^2, -6xy + 6)*(3,-1)' = 9x^2 - 9y^2 + 6xy - 6

e infine  df/dv|P* = 9*1 - 9*0 + 6*1*10 - 6 = 9 - 6 = 3.

@eidosm  scusa se ti disturbo gentilmente mi potresti spiegare come hai risolto

 

In coordinate cartesiane

a) il gradiente é il vettore che ha per componenti le derivate parziali nel loro ordine

b) la derivata direzionale é il prodotto scalare del gradiente con il vettore che esprime la

direzione desiderata.

Infine si sostituiscono i valori di x e y.

@eidosm  solo il primo passaggio non riesco a capire

Se F = x^3 − 3xy^2 + 6y, e grad F = u,

allora ux = dF/dx = 3x^2 - 3y^2  considerando y costante

e uy = dF/dy = - 3x * 2y + 6 = -6xy + 6 considerando x costante




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