Studiare il grafico della funzione
Determinare l’equazione della retta tangente al grafico nel punto x = 2.
Si consideri la funzione F(x, y) = x^3 − 3xy^2 + 6y:
a) calcolare la derivata direzionale di F lungo il vettore v = (3, −1) nel punto (x, y) = (1, 0);
b) verificare che (x, y) = (1, 1) `e un punto di sella.
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Livello 0
Ciao . Adesso devo uscire. Intanto guarda il grafico che ti ho inviato in merito al 1 esercizio.
Ciao e benvenuta. Un solo esercizio per volta precisando le tue difficoltà nell’affrontarlo.
La funzione è pari:
f(-x)=(-x)^2/√((-x)^2 - 3)=x^2/√(x^2 - 3)-----> f(-x)=f(x)
manifesta simmetria assiale rispetto asse delle y
C.E.
x^2 - 3 > 0-------> x < - √3 ∨ x > √3
Intersezioni con gli assi
Con asse delle y (cioè x=0) NON ESISTE perché per x=0 non esiste la funzione
Con asse delle x (cioè y=0 NON ESISTONO: lo si deduce dal C.E. in quanto per i valori che possono assumere le x rendono sempre positiva la funzione
Segno funzione
Sempre positiva!
Condizioni agli estremi del C.E. ]-inf;- √3[U]√3;+inf[
I 4 limiti che devi considerare sono infiniti. In particolare quelli intermedi denunciano la presenza di due asintoti verticali. Ci potrebbero essere due asintoti obliqui sinistro e destro.
Calcolo delle due derivate: (ti riporto solo i risultati)
y' = x·(x^2 - 6)/(x^2 - 3)^(3/2)
y'' =3·(x^2 + 6)/(x^2 - 3)^(5/2)
Minimi relativi ed assoluti
Studia il numeratore della derivata prima con la condizione del C.E.
{x(x^2-6)>0
{x < - √3 ∨ x > √3
Risolvi ed ottieni : [- √6 < x < - √3, x > √6]
Quindi deduci i due minimi in corrispondenza di x=- √6 ed x=√6
Concavità: sempre verso l'alto in quanto y'' sempre positivo
Asintoti obliqui sono presenti due asintoti: sinistro e destro con coefficiente angolare rispettivo -1 e +1
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Genius II
@lucianop ok i scusi per caso mi potrebbe aiutare
Ti svolgo parzialmente anche il secondo:
z = x^3 - 3·x·y^2 + 6·y
C.N.
{3·x^2 - 3·y^2 = 0
{6 - 6·x·y = 0
Quindi:
{(x + y)·(x - y) = 0
{1 - x·y = 0
risolvi ed ottieni come punti critici reali
[x = 1 ∧ y = 1, x = -1 ∧ y = -1]
(gli altri due sono complessi)
Calcola poi l'Hessiano:
H=
|6x........-6y|
|-6y.......-6x|
H(x,y)=- 36·x^2 - 36·y^2
H(1,1)=-72<0 punto di sella
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Genius II
@lucianop come funziona hessiano
come funziona hessiano?
E' il determinante della matrice quadrata in cui sono inserite le derivate parziali del 2° ordine:
|z''xx.............z''xy|
|z''yx.............z''yy|
Quindi lo calcoli in corrispondenza dei valori critici trovati viene un numero per ogni punto critico trovato. Se risulta:
H>0 e z''xx<0 hai un massimo relativo
H>0 e z''xx>0 hai un minimo relativo
H<0 hai un punto di sella
H=0 hai un caso dubbio e ti tocca procedere in altro modo.
Io svolgo questo
Si consideri la funzione F(x, y) = x^3 − 3xy^2 + 6y:
a) calcolare la derivata direzionale di F lungo il vettore v = (3, −1) nel punto (x, y) = (1, 0);
grad F = (3x^2 - 3y^2, - 6xy + 6)
df/dv = grad F*v = (3x^2 - 3y^2, -6xy + 6)*(3,-1)' = 9x^2 - 9y^2 + 6xy - 6
e infine df/dv|P* = 9*1 - 9*0 + 6*1*10 - 6 = 9 - 6 = 3.
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Livello 6
@eidosm scusa se ti disturbo gentilmente mi potresti spiegare come hai risolto
In coordinate cartesiane
a) il gradiente é il vettore che ha per componenti le derivate parziali nel loro ordine
b) la derivata direzionale é il prodotto scalare del gradiente con il vettore che esprime la
direzione desiderata.
Infine si sostituiscono i valori di x e y.
@eidosm solo il primo passaggio non riesco a capire
Se F = x^3 − 3xy^2 + 6y, e grad F = u,
allora ux = dF/dx = 3x^2 - 3y^2 considerando y costante
e uy = dF/dy = - 3x * 2y + 6 = -6xy + 6 considerando x costante
