[Risolto] Funzioni goniometriche

Ciao di nuovo @sara75!

Ti ricordo sempre che da regolamento non puoi postare più esercizi.

Le prime due equazioni sono riconducibili al caso elementare $f(x)=a$ descritto nel post precedente.

Affinché ti trovi nel caso riconducibile a quello elementare, devi fare attenzione al fatto che il coefficiente delle due funzioni trigonometriche dev'essere 1 o -1, quindi sono del tipo:

$ f(x) = g(x)$

o 

$ f(x) = -g(x)$

La terza e quarta della figura sono quindi di tipo differente.

Per le equazioni riconducibili ad elementari distinguiamo diversi casi:

CASO I: I due membri presentano la stessa funzione e sono entrambi positivi, ad esempio

$sin(x+\pi/3) = sin(x)$

In questo caso si risolvono esattamente come quelle elementari, con l'uso della funzione inversa:

$ x_1 + \pi/3 = arcsin(sin(x)) = x +2k\pi$

$ x_2 = \pi - x + 2k\pi$

valgono quindi le stesse regole delle equazioni elementari per calcolare la seconda soluzione.

CASO II: I due membri presentano la stessa funzione, con segni opposti, ad esempio:

$ sin(x+\pi/3) = - sin(x)$

In questi casi dobbiamo tornare al caso 1 trasformando il termine negativo in uno equivalente positivo. Nel caso di seno e tangente, puoi sfruttare il fatto che essendo funzioni dispari si ha che:

$ - sin(x) = sin(-x)$ 

$ - tan(x) = tan(-x)$

Quindi portando il meno "dentro", rendi la funzione positiva. Il coseno invece è una funzione dispari, per cui il discorso precedente non funziona. Usiamo invece le proprietà degli angoli associati:

$ - cos(x) = cos(\pi - x)$

CASO III: Le funzioni sono diverse, quindi hai sin(...) = cos(...)

Anche in questo caso ci riconduciamo al caso I sfruttando di nuovo gli angoli associati. Chiaramente è analogo trasformare il coseno in seno o viceversa. Le trasformazioni da usare sono:

a) Da coseno a seno:

$ cos(x) = sin(\pi/2 - x)$

$ -cos(x) = sin(3/2\pi - x)$

b ) Da seno a coseno:

$ sin(x) = cos(\pi/2 - x)$

$ - sin(x) = cos(\pi/2 + x)$

 

Vediamo un caso pratico:

$sin(-x+4/6 \pi) = -cos(5/3 \pi +2x)$

Trasformo il coseno in seno come:

$sin(-x+4/6 \pi) = sin(3/2\pi - 5/3 \pi -2x)$

$sin(-x+4/6 \pi) = sin(-\pi/6  - 2x)$

Abbiamo ottenuto un'elementare. La prima soluzione è:

$ -x + 4/6 \pi = -pi/6 - 2x +2k\pi$

$ -x +2x = -pi/6 - 4/6 pi +2k\pi$

$ x = -5/6 \pi +2k\pi$

La seconda, essendo seno, è:

$ -x+4/6 \pi = \pi -(-\pi/6-2x) +2k\pi$

$ -x +4/6\pi = \pi + \pi/6 +2x +2k\pi$

$ -x -2x = -4/6\pi+\pi+\pi/6 +2k\pi$

$ -3x = \pi/2 + 2k\pi$

$ x = -\pi/6 -2k\pi/3$

 

 

Noemi