Nel triangolo ABC l’angolo CAB è doppio di ABC, il minore degli angoli di ABC. Considera su AB un punto D tale che l'angolo BCD congruente all'angolo DBC.
La parallela ad AC passante per D incontra BC in F, mentre la bisettrice dell’angolo CDF incontra CB in E. Dimostra che DE è perpendicolare ad AB.
222
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Livello 1
Chiamiamo l'angolo $CBA=\beta$ e dunque $CAB=2\beta$.
Per la somma degli angoli interni, l'angolo $ACB=180 - CBA - CAB = 180 - 3\beta$.
Inoltre poiché per ipotesi $DCB=CBD=\beta$ abbiamo che l'angolo $ACD = ACB-DCB = 180-3\beta-\beta = 180-4\beta$.
Sempre per la somma degli angoli interni nel triangolo ACD, possiamo scrivere che:
$CDA = 180 - CAD - ACD = 180-2\beta -(180-4\beta) = 2\beta$
Quindi il triangolo CAD è isoscele sulla base AD.
Poiché AC e DF sono parallele, gli angoli $CAD$ e $FDB$ sono angoli corrispondenti, quindi anche $FDB = 2\beta$.
Concentriamoci ora sull'angolo piatto ADB, che possiamo scrivere come:
$ ADB = 180 = ADC + CDE + EDF + FDB$
Dato che $ADC=FDB$ e per ipotesi $CDE=EDF$ (DE bisettrice) possiamo riscrivere:
$ 180 = 2ADC + 2CDE$
E dividendo tutto per due:
$ 90 = ADC + CDE = ADE$
Quindi $ADE=90$ e cioè DE è perpendicolare ad AB.
Noemi
9382
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Livello 5
