FUnzioni crescenti e decrescenti

Occorre tener presente la regola della derivata di un modulo di una funzione 

$ D(|f(x)|) = sgn(f(x) \cdot D(f(x)) $

Nel nostro caso

$ y(x) = |\frac{x(x-3)}{x+2}| $

• Dominio = ℝ\{2}

$ y'(x) = sgn(\frac{x(x-3)}{x+2}) \cdot \frac{x^2+4x-6}{(x+2)^2} $

Si tratta di preparare la griglia dei segni della derivata y'(x).

Conviene eseguire qualche operazione preliminare:

i) Gli zeri della parabola $y = x^2+4x-6$ sono:

1. $α := -2-\sqrt{10} $
2. $β := -2+\sqrt{10} $

ii) $ sgn(\frac{x(x-3)}{x+2}) $ determiniamolo tramite una griglia dei segni ausiliaria

______-2__________0___________3______

------------------------0+++++++++++++++   x

-----------------------------------------0++++++  x-3

--------X++++++++++++++++++++++++   /(x+2)

-------X++++++++0----------------0++++++   $sgn(\frac{x(x-3)}{x+2})$

ora possiamo preparare la griglia dei segni della derivata y'(x)

____α____-2________0____β______3______

-------------X++++++0----------------0+++++   $sgn(\frac{x(x-3)}{x+2})$

+++0--------------------------0++++++++++    x²+4x-6

+++++++X+++++++++++++++++++++    /(x+2)²

-----0+++X------------0++++0--------0++++    y'(x)

↘=.↗.X....↘.....=..↗..=...↘...=..↗..    y(x)

1. y(x) è strettamente decrescente in (-∞, -2-√10), in (2, 0) e in (-2+√10, 3)
2. y(x) è stazionaria per x = -2-√10, per x = 0, per x = -2+√10 e per x = 3
3. y(x) è strettamente crescente in (-2-√10, -2), in (0, -2+√10) e in (3, + ∞)