Supponi che $f$ sia una funzione derivabile in un intorno $di +\infty$ e che abbia come asintoto obliquo destro la retta di equazione $y=m x+q$. E possibile affermare che allora $\lim _{x \rightarrow+\infty} f^{\prime}(x)=m$ ? In caso di risposta affermativa giustificala adeguatamente, altrimenti esibisci un controesempio.
GIUSTIFICARE E ARGOMENTARE.
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Livello 2
Falsa.
Per essere vera è necessaria l'ipotesi che esista il limite della derivata prima; non è sufficiente l'esistenza della derivata prima.
Controesempio
$f(x) = x + \frac {sin(x^3)}{x}$
La derivata prima esiste
$ f'(x) = 1 + 3xcos(x^3) - \frac {sin(x^3)}{x^2}$
ma
$ \displaystyle\lim_{x \to +\infty} 3xcos(x^3)$ non esiste. Sballonzola tra + ∞ e - ∞. Tecnicamente liminf f(x) = -∞ mentre limsupf(x) = +∞ quindi la funzione non non ammette limite.
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Livello 6
