Supponi che $f$ sia una funzione derivabile in un Intorno dI $+\infty$ e che $\lim _{x \rightarrow+\infty} f^{\prime}(x)=m$, con $m \in R -\{0\}$. E possibile affermare che allora la funzione $f$ possiede asintoto obliquo per $x \rightarrow+\infty e$ che tale asintoto ha come coefficiente angolare $m$ ? In caso di risposta affermativa giustificala adeguatamente, altrimenti esibisci un controesempio.
GIUSTIFICARE E ARGOMENTARE.
11881
punti
Livello 2
Come risposta puoi scegliere tra due alternative, che hanno una parte in comune.
La più diretta è quella descritta dopo la NOTA e prevede di essere a conoscenza della formula del calcolo del coefficiente angolare m dell'asintoto.
L'altra ha come punto di partenza la definizione di asintoto obliquo e nella prima parte dimostra la formula del coefficiente angolare m.
Risposta.
Si, possiamo tranquillamente affermarlo. Infatti, sappiamo che la funzione asintoto a(x) così definita
-) a(x) = mx+q
è una funzione divergente per x → +∞.
Necessariamente anche la funzione f(x) divergerà per x → +∞ con lo stesso ordine di infinito, visto che deve essere soddisfatta la definizione di asintoto, cioè
$\displaystyle\lim_{x \to +\infty} f(x) - a(x) = 0$
in altre parole la differenza tra la funzione e l'asintoto deve tendere a zero.
Dividendo ambo i membri per x si ha
$\displaystyle\lim_{x \to +\infty} \frac{f(x)}{x} - m - \frac{q}{x} = 0$
L'ultimo termine tende a zero quindi possiamo scrivere la nota formula
$\displaystyle\lim_{x \to +\infty} \frac{f(x)}{x} = m$
NOTA. Se ti è concesso di partire dall'ultima formula (d'altronde è considerata nota) allora puoi saltare il preambolo iniziale.
Si deve quindi calcolare un limite che è una forma indeterminata del tipo ∞/∞.
Applichiamo de l'Hôpital
$\displaystyle\lim_{x \to +\infty} f'(x) = m$
Conclusione. Se vale l'ultimo limite allora
$\displaystyle\lim_{x \to +\infty} \frac{f(x)}{x} = m$
21742
punti
Livello 6
