Funzioni continue e continuità uniforme di una funzione

Nel caso più generale, la definizione prende in considerazione spazi metrici con le loro relative distanze. Se la distanza è definita come $|x_1-x_2|$, $x_1,x_2 \in A$ $(spazio$ $metrico)$ e $|f(x_1)-f(x_2)|$,allora quello che hai scritto è corretto. Prendendo una qualsiasi altra definizione di distanza, il ragionamento non vale più.

($\epsilon , \delta >0$) 

Per una corretta formulazione vedi la prima pagina della dispensa al link

«Una funzione
f: A → R, con Ø ≠ A ⊂ R,
si dice uniformemente continua se
∀ε > 0 ∃δ > 0 ∀x, y ∈ A |x − y| ≤ δ ⇒ |f(x) − f(y)| ≤ ε»
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Per l'equivalenza fra una diseguaglianza col modulo e una coppia di diseguaglianze senza moduli si deve avere presente che eliminare un modulo vuol dire sdoppiare la dis/equazione che lo conteneva in due altre di cui l'originale rappresentava o l'unione o l'intersezione.
a) |a| <= b ≡ (- b <= a <= b) ≡ (- b <= a) & (a <= b) [intersezione]
b) |a| = b ≡ (a = ± b) ≡ (a = - b) || (a = + b) [unione]
c) |a| >= b ≡ (a <= - b) || (b <= a) [unione]
e analoghe per le diseguaglianze strette.
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Quindi
* |x − y| ≤ δ ≡ (- δ <= x − y <= δ) ≡
≡ (y - δ <= x <= y + δ) ≡
≡ (x - δ <= y <= x + δ)
e analoghe per |f(x) − f(y)| ≤ ε.