Partiamo dalla relazione $R_1$
$R_1 = \{(x,y)| y=x-1\}$
Dati i valori in $A=\{0,1,2,3,4,5\}$, scriviamo esplicitamente a cosa sono associati, sostituendo la x di volta in volta con i valori in A:
$ f(x) = x-1$
$ f(0) = 0-1 = -1$
$ f(1) = 1-1 = 0$
$ f(2) = 2-1 = 1$
$ f(3) = 3-1 = 2$
$ f(4) = 4-1 = 3$
$ f(5) = 5-1 = 4$
Notiamo prima di tutto che affinché la relazione sia definita da A in A, i risultati devono essere valori di A.
Quindi dato che $f(0) = -1$ e -1 non è un valore in A, la relazione non è da A in A. Per ottenere una funzione da dobbiamo scartarlo. Prendiamo quindi come insieme $B=\{1,2,3,4,5\}$ formato da tutti i valori in A a cui è associato ancora un valore in A.
La funzione ottenuta iniettiva, perché a valori distinti di B sono associati valori distinti, ma non è suriettiva, dato che $5$ non è immagine di alcun elemento di B, dunque non è nemmeno biunivoca.
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Procediamo in maniera simile con le altre relazioni:
$R_2 = \{(x,y)| x+y<4\}$
Quali sono le coppie che soddisfano questa relazione? Elenchiamole per praticità, tenendo presente che la somma deve dare un numero minore di 4:
(0,0), (0,1), (0,2), (0,3)
(1,0), (1,1), (1,2)
(2,0), (2,1)
(3,0)
Si tratta stavolta di una relazione da A in A dato che tutti gli elementi sono in A. Passiamo alla funzione.
Possiamo notare prima di tutto che l'insieme B è formato solo da $B=\{0,1,2,3\}$, che costituiscono il primo termine della coppia.
Per ottenere una funzione dobbiamo però fare in modo che ad ogni elemento in B dev'essere associato un solo elemento in A. Per com'è costruita la relazione all'elemento 0 vengono associati ad esempio i valori 1, 2 e 3 (che sommati a 0 danno un risultato <4).
Dobbiamo quindi scartare tutti i valori in B associati a più di un elemento. L'unico che ci resta è il 3, che è associato solo a 0, dunque $B=\{3\}$.
La nostra funzione si riduce dunque ad associare $3 \rightarrow 0$. Quella ottenuta è banalmente una funzione biunivoca.
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Per terza relazione, procediamo come con la prima, elencando i valori:
$R_3 = \{(x,y)|\frac{|x|}{x}+1\}$
$ y = \frac{|x|}{x}+1$
$ f(0) = \frac{0}{0}+1 = \emptyset$
$ f(1) = \frac{1}{1}+1 = 1$
$ f(2) = \frac{2}{2}+1 = 1$
$ f(3) = \frac{3}{3}+1 = 1$
$ f(4) = \frac{4}{4}+1 = 1$
$ f(5) = \frac{5}{5}+1 = 1$
Si tratta di una relazione da A in A (tutti i valori sono in A).
Come insieme B prendiamo dunque $B=\{1,2,3,4,5\}$, scartando lo 0 che non è possibile associare a nulla. La funzione è ovviamente non iniettiva dato che tutti gli elementi sono associati ad 1, dunque non è biunivoca.
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Vediamo ugualmente $R_4$
$R_4 = \{(x,y)|x^2 +y = 3\}$
$ y = 3-x^2$
$ f(0) = 3-0^2 = 3$
$ f(1) = 3-1^2 = 2$
$ f(2) = 3-2^2 = -1$
$ f(3) = 3-3^2 = -6$
$ f(4) = 3-4^2 = -13$
$ f(5) = 3-5^2 = -22$
Non è una relazione da A in A dato che alcuni dei risultati non sono in A.
Prendiamo come B i soli valori $B=\{0,1\}$ che sono associati ad elementi in A.
La funzione è iniettiva.
Se consideriamo come codominio i soli valori immagine $C=\{3,2\}$ allora la funzione è anche suriettiva e dunque biunivoca.
Se consideriamo la funzione definita da $B \rightarrow A$, la funzione non è invece suriettiva (ci sono valori in A non associati ad alcun valore in B$ e dunque nemmeno biunivoca.
Noemi
