Considera la funzione $f: \mathbf{R} \rightarrow \mathbf{R}$ definita da $f(x)= \begin{cases}x-4 & x \leq-2 \\ m x & -2<x<3 . \text { Stabilisci per quali valori del parametro } \\ x+9 & x \geq 3\end{cases}$
a. strettamente crescente;
b. iniettiva;
biiettiva;
d. posto $m=1$, scrivi l'espressione della funzione inversa $f^{-1}(x)$.
15
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Livello 0
Ciao. La funzione definita a tratti è continua a sinistra del punto A(-2,-6) ove è definita e rappresenta l'estremo finale del tratto di equazione y= x-4 in B(3,12) è definita e rappresenta l'estremo iniziale del
tratto di equazione y=x+9.
Per essere strettamente crescente deve essere m>0 nel tratto intermedio, con valore massimo di pendenza m in corrispondenza della cucitura con A: m=-6/-2=3 quindi 0 < m ≤ 3
Per valori superiori a m=3 il limite destro per x--> -2 è tale per cui il suo valore è inferiore a -6.
Per gli altri punti b); c); d) se ho tempo e voglia, vedrò di risponderti più avanti. Intanto vedi un po' tu...
Ciao di nuovo.
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Genius II
@lucianop ciao, grazie per la risposta. Domani avrei la verifica però e non riesco a capire nemmeno gli altri punti, mi puoi aiutare oggi per favore?
Continuiamo.
Punto b)
La funzione è iniettiva se ad elementi distinti del dominio, si hanno immagini distinte . Quindi m ≠ 0.
Una pendenza negativa è possibile, come limite inferiore di m devi immaginare di ruotare il tratto intermedio in modo tale da portare l’estremo destro non sotto la retta y=-6. Questo si verifica in corrispondenza del punto B’(3,-6)---> m=-6/3=-2
Analogo ragionamento, vedi figura in precedenza porta ad assumere come max di m: m=3
Quindi: -2 < m < 0 ∨ 0 < m ≤ 3
Punto c)
Non è possibile che la funzione diventi biettiva perché occorrerebbe che il tratto intermedio (quello che ruota al variare di m) si possa cucire in corrispondenza di A e di B.
Punto d)
Con m=1 il tratto intermedio rimane lo stesso nella funzione inversa. Per gli altri due tratti:
y=x-4:----->x=y-4--->y=x+4 per x<=-2
y=x+9:----->x=y+9-----> y=x-2 per x>=3
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Genius II
