[Risolto] funzioni

Se il cilindro è definito sia "non degenere" che "inscritto in una sfera di raggio 1" il raggio x non può essere né zero (darebbe un diametro della sfera), né uno (darebbe un cerchio massimo della sfera), né maggiore di uno (non sarebbe più inscritto).
Quindi la situazione geometrica pone la condizione restrittiva
* 0 < x < 1
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Il volume V del cilindro risulta dal prodotto dell'altezza h per l'area di base π*x^2
* (V(x) = π*h*x^2) & (0 < x < 1)
dove però anche h è funzione di x.
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Secando la sfera con un piano che passi per l'asse del cilindro si ha una circonferenza unitaria Γ circoscritta a un rettangolo di lati 2*x ed h.
Se in esso sitraccia una diagonale e la mediana parallela ad h, si vede che la semialtezza (h/2) è cateto di un triangolo rettangolo d'ipotenusa il raggio (1) della sfera e con x come altro cateto; dalla relazione pitagorica e dal significato di h
* (x^2 + (h/2)^2 = 1^2) & (h > 0)
si ricava
* (h = 2*√(1 - x^2)) & (- 1 < x < 1)
da cui
* (V(x) = π*h*x^2) & (0 < x < 1) ≡
≡ (V(x) = π*(2*√(1 - x^2))*x^2) & (0 < x < 1) & (- 1 < x < 1) ≡
≡ (0 < x < 1) & (V(x) = 2*π*(√(1 - x^2))*x^2 <= V(√(2/3)) = 4*π/(3*√3))
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Vedi il grafico al link
http://www.wolframalpha.com/input/?i=plot%5By%3D2*%CF%80*%28%E2%88%9A%281-x%5E2%29%29*x%5E2%2C%7Bx%2C0%2C1%7D%5D

Il raggio del cilindro é x, ovviamente x >= 0. Quindi c'é qualcosa da rivedere nel dominio.

Per il Teorema di Pitagora, disegnando la sezione in cui il cilindro

si mappa in un rettangolo e la sfera nel cerchio circoscritto, puoi dedurre

h/2 = rad(R^2 - x^2) => h = 2 rad (1 - x^2)

e quindi ne risulta di seguito

V(x) = pi r^2 h = pi x^2 * 2 rad (1 - x^2) = 2 pi x^2 rad (1 - x^2)

con dominio 0 < x < 1 con estremi esclusi essendo il cilindro proprio ( non degenere ).