Funzioni!

Il modo giusto di considerarla è di non "distribuire" la radice.

Vediamo il perché.

Consideriamo le due funzioni:

$ f(x) = \sqrt{\frac{x^2-5x+6}{x^2-x-20} } = \sqrt{\frac{(x-3)(x-2)}{(x-5)(x+4)} } $

$ g(x) = \frac{\sqrt{(x-3)(x-2)}}{\sqrt{(x-5)(x+4)}}  $

Dico che le due funzioni sono diverse. f(x) ≠ g(x)

Vi sono un'infinità di modi per provarlo, scegliamo di comparare tra loro i due Domini.

• Dominio f(x) = (-∞, -4) U [2, 3] U (5, +∞)
• Dominio g(x) = (-∞, -4) U (5, +∞)

Sono diversi quindi le due funzioni non sono eguali.

Notiamo che la f(x) è definita anche in nell'intervallo [2, 3]. Questo significa che in tale intervallo il radicando di f(x) è positivo mentre nel caso di g(x) è negativo.

Confrontiamo le due situazioni con la griglia dei segni.

_____-4______2_____3_____5______

+++++++++0--------0++++++++++  x²-5x+6 

++++++++0XXXXXX0++++++++++  √(x²-5x+6 )

++++X---------------------------X++++   /(x²-x-20)

++++XXXXXXXXXXXXXXXXXXXX++++  /√(x²-x-20)

++++XXXXXXXXXXXXXXXXXXXX++++  g(x)

mentre

++++X-----0++++++0.......X++++++ (x²-5x+6) / (x²-x-20)

++++XXXX0++++++0XXXXX+++++    f(x)

Ecco svelato l'arcano; nel caso di f(x) laddove numeratore e denominatore assumono entrambi valori negativi il loro rapporto assume valori positivi quindi è possibile estrarre la radice. Conclusione le due scritture non sono equivalenti.