Spiegare gentilmente i ragionamenti, i passaggi e argomentare.
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Livello 2
$ y(x) = 2cos^2x + 2x +1 $
La funzione y(x) è invertibile? Dimostriamolo tramite la monotonia.
$ y'(x) = 2(sin(2x) +1) \; \implies \; y'(x) ≥ 0 \qquad \forall x \in \mathbb{R} $
questo significa che la funzione y(x) è monotona strettamente crescente, quindi invertibile.
Indichiamo l'inversa con $y^{-1}(x) $
Calcoliamo la derivata nel punto corrispondente a x₀ = π.
y₀ = y(x₀) ⇒ y₀ = -2cos^2(x₀) + 2x₀ + 1 = - 2 + 2π + 1 = 2π - 1
$ D y^{-1}(y₀) = \frac{1}{D(y(x₀))} $
$ D y^{-1}(2π - 1) = \frac{1}{2(sin(2x₀) + 1) } $
$ D y^{-1}(2π - 1) = \frac{1}{2(sin(2π) + 1) } = \frac{1}{2}$
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Livello 6