Spiegare gentilmente i ragionamenti, i passaggi e argomentare.
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Livello 2
$ y(x) = x^3+2e^x \text{ è invertibile } \forall x \in \mathbb{R} $
La funzione y(x) è monotona strettamente crescente essendo somma di due funzioni monotone strettamente crescenti. Arriviamo allo stesso conclusione usando le derivate.
$ y'(x) = 3x^2 + 2e^x \; \implies \; y'(x) > 0 \qquad \forall x \in \mathbb{R} $
La funzione è quindi monotona strettamente crescente, e di conseguenza invertibile.
Calcoliamo la derivata prima dell'inversa nel punto y₀ = 2 immagine del punto x₀ = 0. Non si calcola, lo si vede.
$ D y^{-1} (y_0) = \frac{1}{D(y(x_0))} $
$ D y^{-1} (2) = \frac{1}{D(y(0))} = \frac{1}{3\cdot 0 + 2\cdot e^0 } = \frac{1}{2}$
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Livello 6