Spiegare gentilmente i ragionamenti e i passaggi.
Spiegare gentilmente i ragionamenti e i passaggi.
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Livello 2
a. La funzione è invertibile
$ y(x) = ln(\frac{x}{x-6}) $
y(x) è invertibile infatti
$y'(x) = \frac{-6}{x(x-6)} $
Il denominatore è positivo per x < 0 oppure per x > 6 conclusione la derivata è negativa nei due intervalli dove è definita y(x). La funzione è quindi monotona strettamente decrescente in ognuno dei due intervalli.
b. Calcoliamo l'inversa
Usiamo il metodo dei tre passi
i) esplicitare la funzione. $ y = ln(\frac{x}{x-6}) $ Era già in forma esplicita.
ii) Scambiare tra loro le variabili. $ x = ln(\frac{y}{y-6}) $
iii) Esplicitare la variabile y. $ e^x = \frac{y}{y-6} \; \implies \; y = \frac{6e^x}{(e^x -1)} $
L'inversa è così esprimibile come $ y^{-1} = \frac{6e^x}{(e^x -1)} $
c. Grafico
https://www.desmos.com/calculator/kfpjtd58m1
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Livello 6