[Risolto] Funzione inversa

Utilizziamo la definizione per cui “una funzione è iniettiva se per ogni y del codominio esiste un unico x che ha per immagine y”

Questo vale sicuramente per x < 0.

Per x > 0 invece da

$ \frac {x+1}{x-1} = y $ 

otteniamo

x + 1 = y(x - 1) 

da cui

x(1 - y) = - 1 - y

per cui

$ x = \frac {y + 1}{y - 1} $

Questa relazione ci dice che x è unico!

Il problema è verificare se ci sono valori della funzione per x < 0 che risultano uguali a quelli per x > 0

Quindi 

$ x_o = \frac {x +1}{x-1} $?

Ce ne sono infiniti. È sufficiente scegliere un valore di x > 0 ma con x < 1 (così $ x_o $ risulta negativo)

Ad esempio per x = $ \frac 12 $ si ottiene $x_o $ = - 3, per x = $ \frac 13 $ si ottiene $x_o $ = - 2

Abbiamo trovato due valori distinti (uno negativo ed uno positivo) per cui la funzione risulta uguale (altra definizione di infettività) e quindi non è iniettiva

Per x < 0 certamente é iniettiva perché la funzione identica lo é in tutto R

Poiché anche la funzione omografica ( iperbole traslata ) é iniettiva nel suo dominio

l'unica possibilità che la tua funzione sia non iniettiva é che esista un x1 negativo

e un x2 positivo o nullo  tali che x1 = (x2 + 1)(x2 - 1)

Ad esempio x1 = -1 e x2 = 0 hanno la stessa immagine -1 e quindi la funzione non é

globalmente iniettiva.

https://www.desmos.com/calculator/ricpc8sglw

Aggiunta >>>

Si possono individuare altre coppie come questa prendendo x1 < 0 e x2 >= 0

tale che (x2 + 1)/(x2 - 1) < 0, quindi 0 <= x2 < 1. Ad esempio, posto x2 = 1/2

e x1 = (1/2 + 1)/(1/2 - 1) = -3, la coppia x1, x2 condivide la stessa immagine che é

-3.