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[Risolto] Funzione dipende da parametri  

  

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Data la funzione $y = ax^3 + bx$, individuiamo i parametri a e b in modo che il suo grafico abbia nel punto $P (1; 2)$ una tangente di coefficiente angolare $m=1$.

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1 Risposta
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La funzione dipende da due parametri, $a$ e $b$, quindi abbiamo bisogno di due condizioni che ci permettano di impostare un sistema di due equazioni nelle due incognite $a$ e $b$.

In questo caso le condizioni sono:

1. il passaggio per il punto $P (1; 2)$ che otteniamo sostituendo nell’equazione della curva le coordinate del punto stesso;

2. l’uguaglianza fra il valore dato per il coefficiente angolare della tangente nel punto $P$ e il valore che as- sume la derivata prima nel punto stesso.

Calcoliamo: $f'(x) = 3ax^2 + b.$

Impostiamo il sistema:

$\begin{cases}
2=a+b \longleftarrow dalla \space condizione \space 1\\
3a+b=1 \longleftarrow dalla \space condizione \space 2
\end{cases}$

$\begin{cases}
a=-\frac{1}{2} \\
b=\frac{5}{2}
\end{cases}$

La funzione richiesta è $y=-\frac{1}{2}x^3+\frac{5}{2}x.$

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