[Risolto] Caratteristiche di una funzione alla sua espressione analitica

Ciao!

Il dominio è $ x \neq 2$, la funzione deve avere una C.E. che escluda $2$, come ad esempio $\frac{1}{x-2}$ oppure $\log((x-2)^2)$ e altri.

E' un po' poco per cominciare a definire una funzione, ricordiamoci di questo dato ma passiamo oltre. I punti di intersezione con gli assi sono $(0;0)$ e $(3;0)$ quindi è una funzione che ha come zeri $x=0$ e $x=3$.  Ad esempio potrebbe essere del tipo $x(x-3) = x^2-3x$. Aggiungendo la condizione sul dominio potrebbe essere tipo $\frac{x^2-3x}{x-2}$ (infatti nello studio degli zeri il denominatore non influenza il risultato, quindi possiamo tranquillamente aggiungerlo senza che vengano modificati gli zeri.) $x=2$ è asintoto verticale.

Il caso più semplice è che sia una funzione fratta con denominatore che si annulla in $x=2$. Quindi $\frac{x^2-3x}{x-2}$ va bene, infatti $\lim_{x \rightarrow 2} \frac{x^2-3x}{x-2} = \lim_{x \rightarrow 2} \frac{4-6}{0} = \infty$ e quindi è asintoto verticale $y= -2$ è asintoto orizzontale. Questa è più difficile. Significa che quando facciamo il limite per $x \rightarrow \infty$ otteniamo $-2$. Dato che noi stiamo lavorando con una funzione fratta, questa condizione può essere vera solo se numeratore e denominatore hanno lo stesso grado perché in quel caso il risultato sarà numerico.

Dobbiamo cambiare il denominatore: proviamo $(x-2)^2$  esso è $\neq 0$ quando $x \neq 2 $ (verificata la condizione sul dominio) non modifica il valore degli zeri (verificata la condizione degli zeri) se facciamo il limite per $x \rightarrow 2$, $(x-2)^2 \rightarrow 0$ quindi avremo ancora un asintoto verticale è di grado $2$ quindi farà sì che $x \rightarrow \infty$ tenda a un numero

Calcoliamo l'asintoto orizzontale usando la gerarchia degli infiniti: $\lim_{x \rightarrow +\infty} \frac{x^2-3x}{(x-2)^2} = \lim_{x \rightarrow +\infty} \frac{x^2}{x^2} = 1$ quindi abbiamo asintoto orizzontale, ma non ha il valore richiesto.

Dobbiamo far sì che il rapporto tra i termini di grado $2$ sia $-2$: ad esempio potremmo provare a moltiplicare il numeratore per $-2$:  $\frac{-2x^2+6x}{(x-2)^2}$ (puoi controllare con facilità che tutte le condizioni rimangono valide) Adesso si ha: $\lim_{x \rightarrow \pm \infty} \frac{-2x^2+6x}{(x-2)^2} = \lim_{x \rightarrow \pm \infty} \frac{-2x^2}{x^2}= -2$ $ f(x) > 20$ per $x \in (0,3)$.

E' una consegna strana, non sono certo sia corretta... magari volevi scrivere $f(x) > 0$?

Nel caso $ f(x) > 20$ per $x \in (0,3)$, la nostra funzione non va bene. Nel caso $ f(x) > 0$ per $x \in (0,3)$ la nostra funzione va bene, infatti $\frac{-2x^2+6x}{(x-2)^2} 0  \ \rightarrow -2x^2+6x 0 \ \rightarrow x \in (0,3)$