Funzione crescente e decrescente.

y = x^3 + 3·x^2---> y' = 3·x^2 + 6·x

3·x^2 + 6·x > 0----> x < -2 ∨ x > 0

ove funzione crescente

3·x^2 + 6·x < 0----> -2 < x < 0

ove funzione decrescente

3·x^2 + 6·x = 0-----> x = -2 ∨ x = 0

punti di stazionarietà: max rel in x=-2 e min rel in x=0

x = -2 : y = (-2)^3 + 3·(-2)^2  = 4  ---> [-2, 4]

x=0: y=0-----> [0,0]

y = x^5·e^x---> y' = e^x·(x^5 + 5·x^4)

e^x·(x^5 + 5·x^4) > 0---> x ≠ 0 ∧ x > -5

e^x·(x^5 + 5·x^4) < 0---> x < -5

y = (-5)^5·e^(-5)---> y = - 3125·e^(-5)

(y = -21.05608437)

[-5, - 3125·e^(-5)] punto di min rel ed assoluto

[0, 0] punto di flesso a tangente orizzontale

a.  $y(x) = x^3+3x^2 \; \implies \; y'(x) = 3x^2+6x = 3x(x+2) $     

Segno derivata prima

______-2__________0__________

------------------------0++++++++  3x

--------0+++++++++++++++++  x+2

++++0---------------0++++++++   y'(x)

..↗..=......↘......=......↗......       y(x)

1. y(x) < 0; y(x) è decrescente in (-2, 0)
2. y(x) = 0; punti stazionari per x = -2 e per x = 0 
3. y(x) > 0; y(x) è crescente in (-∞, -2) e in (0, +∞)

b.  $y(x) = x^5e^x \; \implies \; y'(x) = x^4e^x(x+5) $     

Segno derivata prima

______-5__________0__________

+++++++++++++0++++++++  x⁴eˣ

--------0+++++++++++++++++  x+5

-------0++++++++0++++++++   y'(x)

..↘..=...............↗...............       y(x)

1. y(x) < 0; y(x) è decrescente in (-∞, -5)
2. y(x) = 0; punti stazionari per x = -5 (minimo) e per x = 0 flesso orizzontale
3. y(x) > 0; y(x) è crescente in (-5, +∞)