Teorema di Rolle con parametro

$ f(x) = \begin{cases} ax^2+bx+2 \quad \text{se    0≤x<2} \\ \frac{16}{x+2} \qquad \qquad \quad \text{se    2≤x≤6} \end{cases} $

i) f(0) = 2 = f(6)  O.K.

ii) Continuità
$ \displaystyle\lim_{x \to 2^-} f(x) = 4a+2b+2 $
$ f(2) = \displaystyle\lim_{x \to 2^+} f(x) = 4$

per essere continua è necessario che $4a+2b+2= 4 \; \implies \; 2a+b=1$

iii) Derivabilità

$ f'(x) = \begin{cases} 2ax+b \qquad \text{se    0≤x<2} \\ -\frac{16}{(x+2)^2} \qquad \text{se    2≤x≤6} \end{cases} $

Le due derivate laterali devono essere eguali

$ D^-f'(2) = \displaystyle\lim_{x \to 2^-} f'(x) = 4a+b $
$ D^+f'(2) = \displaystyle\lim_{x \to 2^+} f'(x) = -1 $

per essere derivabile è necessario che $4a+b = -1$

iv)  Le costanti a e b

Si tratta di risolvere il sistema di due equazioni nelle incognite a e b

$ \begin{cases} 2a+b=-1 \\ 4a+b = -1 \end{cases} $

La cui soluzione è  $ a = -1   \quad ∧  \quad b = 3$

La nostra f(x) ha la forma

$ f(x) = \begin{cases} -x^2+3x+2 \quad \text{se    0≤x<2} \\ \frac{16}{x+2} \quad\qquad \qquad \text{se    2≤x≤6} \end{cases} $