Funione

$ y(x) = \frac{ln(4-x^2)}{x^2-1} $

• Dominio.
  • • $/(x^2-1) \; ⇒ \; x \ne \pm 1$
    • $ln(4-x^2)  \; ⇒ \; -2 < x < 2 $

Dominio = (-2, -1) U (-1, 1) U (1, 2)

• Discontinuità. La funzione ammette i seguenti punti di discontinuità: x = -2; x = -1; x = 1; x = 2 

• Simmetria. La funzioni è pari ovvero simmetrica rispetto all'asse delle ordinate.

• Asintoti.
  • Essendo il dominio limitato non vi possono essere ne asintoti orizzontali ne asintoti obliqui.
  • Asintoti verticali

• • • x = 2
    • $ \displaystyle\lim_{x \to 2^-} y(x) = -\infty$
    • Si tratta di un asintoto verticale sinistro di equazione x = 2
    • Per simmetria possiamo affermare che esiste un asintoto verticale destro di equazione x = -2 

• • • x = 1
    • $ \displaystyle\lim_{x \to 1^+} y(x) = +\infty$
    • $ \displaystyle\lim_{x \to 1^-} y(x) = -\infty$
    • Si tratta di un asintoto verticale di equazione x = 1
    • Per simmetria possiamo affermare che esiste un asintoto verticale di equazione x = -1

• Intersezione con gli assi coordinati
  • Asse delle x. Equazione dell'asse y = 0; cioè $ln(4-x^2) = 0 \; ⇒ \; x = \pm \sqrt{3}$
  • Asse delle y. Equazione dell'asse x = 0, cioè  y = -ln(4) 

• Segno y(x)

-2____-√3____-1________1_____√3______2

---------0+++++++++++++++++0----------     ln(4-x²)

++++++++++X------------X+++++++++++     x²-1

---------0++++X------------X+++++0----------     y(x)

1. y(x) < 0 in (-2, -√3); in (-1, 1) e in (√3, 2)
2. y(x) = 0 per x = ± √3
3. y(x) > 0 in (-√3, -1) e in (1, √3)

Punti "singolari" li  abbiamo già affrontati nel punto asintoti

• Flessi
  • Derivata prima. $y(x) = \frac{2x(1-x^2+(x^2-4)ln(4-x^2)}{(4-x^2)(x^2-1)^2} $
  • dalla quale si ricava che esiste un solo punto stazionario per x = 0 a cui corrisponde un massimo. Nessun flesso orizzontale.
  • Derivata seconda è un dramma.

Nel passato, hai presentato degli esercizi dove si chiedeva di dichiarare l'esistenza di flessi per delle funzioni, definite in un insieme limitato (a, b) divergenti alla frontiera con segni discordi. Sarei interessato sulla base di quale teorema di esistenza dei flessi si arrivava alla conclusione. Ovviamente siamo nel caso che la derivata seconda non esiste o sia ingestibile.