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Forme quadratiche equivalenti (matrici)

  

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ciao a tutti! ho un problema con il seguente esercizio:

Sia Q:R3→RQ la forma quadratica definita, sul vettore v=(x,y,z)  , dalla formula

Q(v)=(−2x^2)−6yx+4zx−4zy−3z^2 

trovare una forma quadratica equivalente a Q.

Allora, io parto trovando la matrice dell'equazione ovvero:

(x,y,z)   ( -2, -3, 2     (x

             -3, 0, -2      y

              2, -2, -3)     z)

con Polinomio caratteristico:

det(A-It) con A la matrice sopra e trovo: -t(-2-t)(-3-t)+60

 

da qui non so come continuare per trovare una forma quadratica equivalente, qualcuno può aiutarmi gentilmente? ? 

grazie in anticipo!!

 

 

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1 Risposta
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Ti serve solo la forma quadratica equivalente o anche la matrice del cambiamento di base? Se ti serve solo la matrice equivalente basta conoscere la segnatura di Q.

Se ti serve la matrice del cambio base puoi trovare autovalori, trova poi una base ortonormale formata da autovettori (esiste perché la matrice è simmetrica), rispetto a questa base la forma quadratica si porta in forma diagonale. Se ti serve la forma canonica associata devi riscalare gli autovettori dividendoli per la radice del valore assoluto dell'autovalore.

In alternativa, puoi usare l'algoritmo di Lagrange.

@mauro

No solo la forma quadratica equivalente, alla fine ho fatto: partendo dal polinomio caratteristico della matrice, ho risolto l'equazione e poi ho usato Cartesio per vedere le variazioni e le permanenze del segno così da trovare l'indice di positività, negatività e nullo.
Potrebbe essere una soluzione?






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