forma parametrica a forma cartesiana

@lorenzo_licinio_carino

Ciao. Non potresti scrivere ciò che tu hai difficoltà a determinare? Nella foto non riesco a vedere cosa c'è scritto!

L'esercizio #181, di cui tu hai allegato una pessima foto mal leggibile per carenza di pixel, è uno splendido esempio di quegli esercizi che inducono errori nel pensiero degli alunni.
Nell'espressione "equazioni parametriche di un luogo" è implicita la definizione che l'espressione di ciascuna coordinata del luogo sia una funzione di un certo numero, anche nullo, di parametri. MA, NEL #181, NON E' COSI': l'espressione di una coordinata contiene un doppio segno "±" e quindi, per definizione, non può essere una funzione. Lo scandalo che induce a imparare falsità è la carenza della minima avvertenza a riguardo.
------------------------------
Trovare l'equazione cartesiana della curva descritta da
* (x = 3*t/√(1 + t^2)) & (y = ± 3/√(1 + t^2))
si fa per fasi successive, anzitutto ricavando t dall'equazione priva di "±" (con cautela finale anti spurie)
* x = 3*t/√(1 + t^2) ≡
≡ x^2 = (3*t)^2/(1 + t^2) ≡
≡ (1 + t^2)*x^2 - (3*t)^2 = 0 ≡
≡ t^2 = - x^2/(x^2 - 9) = x^2/(9 - x^2) ≡
≡ t = ± √(x^2/(9 - x^2))
che identifica ascisse reali solo per |x| < 3 ≡ - 3 < x < 3.
Le verifiche anti spurie devono essere una per segno.
* per t = - √(x^2/(9 - x^2))
** - 3*√(x^2/(9 - x^2))/√(1 + x^2/(9 - x^2)) = - √(x^2) = - |x|: SPURIA
* per t = + √(x^2/(9 - x^2))
** 3*√(x^2/(9 - x^2))/√(1 + (x^2/(9 - x^2))) = √(x^2) = |x| = ± x: ACCETTABILE
QUINDI
≡ (t = √(x^2/(9 - x^2))) & (- 3 < x < 3)
------------------------------
Il secondo calcolo è: sostituire, sviluppare, ridurre a forma riconoscibile.
* y = ± 3/√(1 + t^2) = ± 3/√(1 + x^2/(9 - x^2)) ≡
≡ y^2 = 3^2/(1 + x^2/(9 - x^2)) ≡
≡ y^2 = 3^2/(9/(9 - x^2)) ≡
≡ y^2 = (9 - x^2)/9)*3^2 ≡
≡ x^2 + y^2 = 9 ≡
≡ circonferenza di raggio tre centrata nell'origine.

Qui la cosa più semplice é quadrare

x = 3t/sqrt(1 + t^2)

y = +- 3/sqrt(1+t^2)

y^2 = 9/(1 + t^2)

x^2 = 9t^2/(1 + t^2)

e sommare  x^2 + y^2 = 9/(1 + t^2) * ( 1 + t^2)

da cui x^2 + y^2 = 9.

In alternativa dovresti determinare  1 + t^2 = 9/y^2

t^2 = 9/y^2 - 1

e sostituire    x^2 = 9*(9/y^2 - 1)/(9/y^2)

da cui

x^2 = 9 - y^2

e infine

x^2 + y^2 = 9

x^2 = 9t^2/(1+t^2)

y^2 = 9/(1+t^2)

x^2+y^2 = 9(1+t^2)/(1+t^2) = 9 

e io non so come leggere quella mostruosita'

In questo caso si può fare perché non stai richiedendo una equivalenza ma solo una implicazione unidirezionale. E' per eseguire il passaggio inverso che dovresti sapere il segno per specificare una funzione.