Fluidostatica, Equazioni e disequazioni

volume sfera Vs = π/6*d^3 = 0,52369*0,8^3 = 0,2681 dm^3

volume cono Vc = π/4*d^2*h/3 = 0,7854*3,2^2*3,0/3 = 8,04250 dm^3

 

Assunta la densità del cono pari a ρa/9 , determinare qual è la densità della sfera ρs = ρa*k capace di tener immerso il cono per metà della sua altezza (1,50 dm) 

volume cono immerso Vci = Vc*0,5^3 = 8,04250*0,125 = 1,0053 dm^3

massa del cono mc = Vc*ρa/9 = 0,8936 kg 

massa della sfera ms = Vs*ρs = 0,2681*ρs

massa totale = mc+ms = 0,8936+0,2681*ρs

equilibrio al galleggiamento :

g*(mc+ms) = g(Vs+Vci)*ρa

g si semplifica

0,8936+0,2681ρs = (0,2681+1,0053)*1,00

densità sfera ρs = (0,2681+1,0053-0,8936)/0,2681 = 1,4166 kg/dm^3 

la tabella sottostante mostra come variano volume del cono in dm^3 ed altezza del cono in per unità  immersi al variare della densità della sfera 

 

 

Il sistema in acqua è il seguente:

I due volumi sono:

V (cono) = 1/3·(pi·r^2)·h-------> V(cono) = 1/3·(pi·16^2)·30 = 2560·pi

V (sfera) =v = 4/3·pi·r^3-------> V sfera = 256·pi/3

Prova ora ad andare avanti tu....

Risoluzione problema

Calcolo volumi

1/3·pi·r^2·h-----> 1/3·pi·16^2·30 = 2560·pi     in cm^3 volume cono

4/3·pi·r^3-----> 4/3·pi ·4^3 = 256·pi/3        volume sfera   (in cm^3)

Variazione del raggio con l'affondamento x del cono:

r = 16/30·x--------> r = 8·x/15

Tralasciamo il tiro T interno del cavo immerso

Forze agenti sul cono:

2560·pi·(1/9·ρ·g) = 2560·pi·g·ρ/9 forza peso

1/3·pi·(8·x/15)^2·x·ρ·g = 64·pi·g·ρ·x^3/675 spinta di Archimede

Forze agenti sulla sfera:

256·pi/3·k·ρ·g       forza peso

256·pi/3·ρ·g          spinta di Archimede

Per l'equilibrio alla traslazione verticale di tutto il sistema deve essere:

(2560·pi·g·ρ/9 - 64·pi·g·ρ·x^3/675) + (256·pi/3·k·ρ·g - 256·pi/3·ρ·g) = 0

64·pi·(300·(3·k + 7) - x^3)/675 = 0

300·(3·k + 7) - x^3 = 0

x = 300^(1/3)·(3·k + 7)^(1/3)

Per l'ultima risposta deve verificarsi:

{30 - x < 15

{x < 30

risolvendo in x: [15 < x < 30]

quindi i valori di k sono:

15 < 300^(1/3)·(3·k + 7)^(1/3) < 30

cioè:

17/12 < k < 83/3 ossia [1.417 < k < 27.667]

 

 

La sfera di raggio 4 cm ha volume
* V0 = (4/3)*π*4^3 = (256/3)*π cm^3 = (4/46875)*π m^3
e peso
* g*(1000*k)*(4/46875)*π = k*(32/375)*π*g N
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Il cono di raggio 16 cm = 4/25 m e altezza x cm = x/100 m (la parte immersa) ha volume
* V(x) = (π/3)*((4/25)^2)*x/100 = (4/46875)*π*x m^3
mentre il cono intero ha volume
* V(30) = (8/3125)*π m^3
e peso
* g*(1000/9)*(8/3125)*π = (64/225)*π*g N
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All'equilibrio la spinta idrostatica sostiene tutto il peso, la palla è sommersa e del cono emerge un tronco di cono.
* Peso totale: k*(32/375)*π*g + (64/225)*π*g = (32/1125)*(3*k + 10)*π*g
* Volume immerso totale: (4/46875)*π + (4/46875)*π*x = (4/46875)*π*(x + 1)
* Spinta d'Archimede: g*1000*(4/46875)*π*(x + 1) = (32/375)*π*g*(x + 1)
EQUAZIONE D'EQUILIBRIO
* (32/375)*π*g*(x + 1) = (32/1125)*(3*k + 10)*π*g ≡
≡ x = k + 7/3 m
EEEEH? Dove diavolo ho smarronato? Non mi rendo conto!