Flessi

y = (x - 1)^2/(x + 1)^3

y'= (1 - x)·(x - 5)/(x + 1)^4

y'' = 2·(x^2 - 10·x + 13)/(x + 1)^5

Studio y''

2·(x^2 - 10·x + 13)/(x + 1)^5 > 0

per -1 < x < 5 - 2·√3 ∨ x > 2·√3 + 5

concavità verso l'alto

2·(x^2 - 10·x + 13)/(x + 1)^5 < 0

per 5 - 2·√3 < x < 2·√3 + 5 ∨ x < -1

concavità verso il basso

2·(x^2 - 10·x + 13)/(x + 1)^5 = 0

per x = 5 - 2·√3 ∨ x = 2·√3 + 5

punti di flesso

$ y(x) = \frac{(x-1)^2}{(x+1)^3} $ 

• Dominio = ℝ\{-1}

y"$(x) = \frac{2(x^2-10x+13)}{(x+1)^5} $ 

da cui

y"$(x) = 0 \; \implies \; x^2-10x+13 = 0 \; \implies \; x = 5 \pm 2\sqrt{3}$ 

Studio del segno della derivata seconda. 

___-1_______5-2√3________5+2√3______

++++++++++0-----------------0+++++++   2(x²-10x+13)

------X++++++++++++++++++++++++   /(x+1)^5

------X++++++0-----------------0+++++++   y"(x)

..∩...X......∪......≠.........∩.........≠.......∪.......   y(x)

Legenda

≠ punto di flesso

∩   concava

∪  convessa

Conclusioni.

1. La funzione y(x) è convessa in (-1, 5-2√3) e in (5+2√3, +∞)
2. La funzione y(x) è concava in (-∞, -1) e in (5-2√3, 5+2√3)
3. Per x = 5-2√3 si ha un flesso, (y"(x) = 0 ed è presente un cambio di concavità)
4. Per x = 5+2√3 si ha un flesso, (y"(x) = 0 ed è presente un cambio di concavità)