Flessi

$ y =\frac{x^3}{4+3x^2} $

• Dominio = ℝ
• E' una funzione razionale fratta quindi continua e derivabile laddove definita

$ y' = \frac{3x^2(x^2+4)}{(4+3x^2)^2} $

$y' ' = \frac{24x(x+2)(x-2)}{(4+3x^2)^3} $

• Flessi.

$y' ' = 0  \; ⇒ \; $

1. x = 0
2. x = -2
3. x = +2
   tre potenziali punti di flesso

i) Studiamo il segno della derivata seconda

_________-2_______0_______2______
-------------------------0+++++++++++    24x
-------------0++++++++++++++++++   x+2
------------------------------------0+++++   x-2
++++++++++++++++++++++++++   (4+3x²)³
------------0++++++0----------0+++++    y"

......∩......f......∪.......f.....∩......f.....∪....   y(x)

in tutti i tre punti la concavità cambia, quindi si tratta di 3 punti di flesso

ii) tipo di flesso

a cosa tende la derivata prima? 

$ \displaystyle\lim_{x \to 0}  y'(x) = y'(0) = 0 $ si tratta di un flesso orizzontale
$ \displaystyle\lim_{x \to -2}  y'(x) = y'(-2) = \frac{3}{8} $ si tratta di un flesso obliquo
$ \displaystyle\lim_{x \to 2}  y'(x) = y'(2) = \frac{3}{8} $ si tratta di un flesso obliquo