Flessi

y = - x^3·(x + 1)----> y = - x^4 - x^3

Flessi y''=0

y' = - 4·x^3 - 3·x^2

y''= - 12·x^2 - 6·x

- 12·x^2 - 6·x = 0---> - 6·x·(2·x + 1) = 0

x = - 1/2 ∨ x = 0

x = - 1/2

y = - (- 1/2)^4 - (- 1/2)^3---> y = 1/16

[- 1/2, 1/16]

flesso a tangente obliqua:

y'(-1/2)= - 4·(- 1/2)^3 - 3·(- 1/2)^2----> y'= - 1/4

retta tangente: 

y - 1/16 = - 1/4·(x + 1/2)----> y = - x/4 - 1/16

x = 0 → y = 0 → y' = 0

flesso a tangente orizzontale.

$ y = -(x^4+x^3) $

• Dominio = ℝ
• E' una funziona razionale intera quindi continua e derivabile infinite volte.

$ y' = -(3x^3+3x^2) $

$y' ' = -(12x^2+6x) = -6x(2x+1) $

• Flessi.

$y' ' = 0 \; ⇒ \; x = 0  \; \lor \; x = -\frac{1}{2} $     questi sono potenziali punti di flesso.

Studiamo il segno della derivata seconda

i) Segno y"(x)

________-1/2________0_________
+++++++++++++++0-------------    -6x
-------------0+++++++++++++++    2x+1
-------------0+++++++0-------------    y"

......∩......f.......∪........f........∩.......     y(x)

Per entrambi c'è un cambio di concavità quindi si tratta di due flessi.

ii) tipo di flesso

$ y' (0) = 0 $ Si tratta di un flesso orizzontale
$ y'(-1/2) = -\frac{1}{4} $ Si tratta di un flesso obliquo.