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[Risolto] fisica e circonferenza

  

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Salve, ho provato a risolvere questo esercizio.

Un atleta lancia il martello ruotando attorno a un punto $O$. Il suo braccio è teso e supponiamo $\mathrm{ch}_{\mathrm{e}}$ la distanza dell'impugnatura del martello da $\mathrm{O}_{\mathrm{sia}_{\mathrm{a}}} \mathrm{di}_{\mathrm{i}}$ 1,2 m. La distanza dell'impugnatura dal peso di for. ma sferica è pure di 1,2 m. In figura è rappresentata la situazione vista dall'alto.
a. Supponendo che il martello venga rilasciato quando la sfera si trova in $P$, scrivi l'equazione della retta su cui si sviluppa la traiettoria, vista dall'alto, assumendo il sistema di riferimento in figura avente il metro come unità di misura.
b. Se la sfera percorre $80 \mathrm{~m}$ in direzione parallela al suolo prima di toccare terra, determina le coordinate del punto in cui essa colpisce il suolo.

$\left[\right.$ a. $5 x+5 \sqrt{3} y-24=0 ;$ b. $\left.\left(\frac{6-200 \sqrt{3}}{5} ; \frac{6 \sqrt{3}+200}{5}\right)\right]$

immagine

Ho trovato m=tan(60)= rad(3), coefficiente angolare della retta in blu.
Quella rossa che mi serve è perpendicolare quindi avrà m=-1/rad(3). Impongo il passaggio per P(cos60, sen60) = P(1/2, rad(3)/2)) tramite il fascio.

Ma non ottengo il risultato del libro.

Poi non so andare avanti.

Vorrei confrontarmi con qualcuno. Grazie.

Autore

@LucianoP.. un aiuto?

@anna-sa91 

Penso di poterti aiutare dopo cena.

@LucianoP va bene.. io continuo a tentare.

 

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Ciao

La situazione è quella della figura allegata:

image

per cui il raggio della traiettoria iniziale è dato dalla somma r=1.2+1.2=2.4.

Adesso la soluzione dovrebbe esserci. Prova tu e fammi sapere.

Vediamo di scrivere la traiettoria

Punto di partenza:

{x^2 + y^2 = 2.4^2

{y = √3·x

risolvo ed ottengo: x = 6/5 ∧ y = 6·√3/5

la soluzione con coordinate opposte viene scartata.

traiettoria:

y - 6·√3/5 = - 1/√3·(x - 6/5)----> y = 8·√3/5 - √3·x/3

15·y = 24·√3 - 5·√3·x

5·√3·x + 15·y - 24·√3 = 0

5·x + 5·√3·y - 24 = 0

Posizione dell'atterraggio del martello

Dalla traiettoria: 

x = √3·(8·√3 - 5·y)/5

Significa che il generico punto ha coordinate: [√3·(8·√3 - 5·y)/5, y]

Quindi: la distanza del punto generico, dal punto di partenza [6/5, 6·√3/5]

deve essere pari a 80 m

√((6/5 - √3·(8·√3 - 5·y)/5)^2 + (6·√3/5 - y)^2) = 80

√((3·y^2 - 36·√3·y/5 + 324/25) + (y^2 - 12·√3·y/5 + 108/25)) = 80

elevando al quadrato arrivi a scrivere:

4·(5·y - 6·√3)^2/25 - 6400 = 0

4·(5·y - 6·√3 + 200)·(5·y - 6·√3 - 200)/25 = 0

da cui due soluzioni:

y = 6·√3/5 - 40 ∨ y = 6·√3/5 + 40

escludi la prima perché deve essere y>0 appartenendo al 2° quadrante il punto di atterraggio.

y = 2·(3·√3 + 100)/5

quindi:

x = √3·(8·√3 - 5·(2·(3·√3 + 100)/5))/5

x = (6 - 200·√3)/5 m 

y = (6·√3 + 200)/5 m

Coordinate: [(6 - 200·√3)/5,(6·√3 + 200)/5]

(S. Luciano)

 

@lucianop sì avevo capito fosse 2,4 m il raggio ma non vedo la soluzione.

@lucianop niente da dire.. se non GRAZIE! Ero ancora qui a capire come poter risolvere.

@anna-sa91

Prego. Buona notte.



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Vedo il tuo commento marcato "03/05/2023 20:34" poco prima delle 23 della stessa sera.
Avevi scritto "Vorrei confrontarmi con qualcuno" già a metà pomeriggio, ma credo che il confronto con me lo farai domattina (io scrivo lentamente) e non so se ti sarà ancora utile. Comunque, eccomi qui.
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L'esercizio, sia pure intitolato FISICA, è di sola geometria analitica: trovare il punto P; trovare la retta rossa; trovare il punto Q, a distanza 80 da P, sulla retta rossa nel semipiano y > 0. Che c'entra la fisica?
---------------
Il punto P, a distanza 2.4 = 12/5 da O, è
* P((12/5)*cos(60°), (12/5)*sin(60°)) = (6/5, (6/5)*√3)
Le rette per P, distinte da x = 6/5, sono
* y = (6/5)*√3 + m*(x - 6/5)
---------------
La retta rossa è una retta per P che incontra il semiasse x > 0 con inclinazione di (180 - 30 = 150)° e quindi ha pendenza m = tg(150°) = - 1/√3; perciò ha equazione
* r ≡ y = (6/5)*√3 - (x - 6/5)/√3
---------------
Tutti i punti a distanza 80 da P formano la circonferenza
* Γ ≡ (x - 6/5)^2 + (y - (6/5)*√3)^2 = 80^2
fra di essi quelli sulla retta rossa sono le soluzioni del sistema "r & Γ" e fra i due Q è quello con y > 0.
* r & Γ ≡ (y = (6/5)*√3 - (x - 6/5)/√3) & ((x - 6/5)^2 + (y - (6/5)*√3)^2 = 80^2) ≡
≡ (y = (√3/15)*(24 - 5*x)) & ((x - 6/5)^2 + ((√3/15)*(24 - 5*x) - (6/5)*√3)^2 = 80^2) ≡
≡ (y = (√3/15)*(24 - 5*x)) & (25*x^2 - 60*x - 119964 = 0) ≡
≡ Q(6/5 - 40*√3, (6/5)*√3 + 40) oppure Q'(6/5 + 40*√3, (6/5)*√3 - 40)
------------------------------
BUON CONFRONTO (se può ancora servirti a quest'ora: 03/05/2023 23:03)!



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